Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Nam Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Nam Sơn (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HUYỆN NAM SƠN-Năm học 2017-2018 Câu 1. (4,0 điểm) Chứng minh rằng: a) A 1 3 32 33 311 chia hết cho 40 1 1 1 1 b) B 1 22 32 42 1002 Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho a b c 0,chứng minh rằng : a3 b3 c3 3abc b) So sánh hai số sau: C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 và D 232 Câu 3. (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2019x2 2018x 2019 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 8x 1 Câu 4. (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC .Gọi I là trung điểm của cạnh BC.Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi. 1 c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC. 3 Câu 6. (1,0 điểm) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) A 1 3 32 33 311 1 3 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 1 3 32 33 34. 1 3 32 33 38. 1 3 32 33 40 34.40 38.40 40. 1 34 38 40 Vậy A40 b) 1 1 1 1 B 22 32 42 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 100 Vậy B 1 Câu 2. a) Ta có: a b c 0 a b c Mặt khác a b 3 a3 b3 3ab a b c 3 a3 b3 3ab c a3 b3 c3 3abc (dfcm) b) C 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 2 1 C 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 C 22 1 22 1 24 1 28 1 216 1 C 24 1 24 1 28 1 216 1
3. C 28 1 28 1 216 1 C 216 1 216 1 232 1 Vì 232 1 232 nên C D Câu 3. a) x4 2019x2 2018x 2019 x4 x2 2018x2 2018x 2018 1 x3 x3 x4 x3 x2 2018x2 2018x 2018 x3 1 x2 x2 x 1 2018 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2018 x 1 x2 x 1 x2 x 2019 b) E 2x2 8x 1 2x2 8x 8 7 2 x 2 2 7 7 x Vậy giá trị nhỏ nhất của E 7 x 2 Câu 4. B a b A d O c C D Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD của tứ giác ABCD. Đặt AB a,BC b,CD c,DA d Xét AOB, ta có: OA OB AB(quan hệ giữa ba cạnh của tam giác)
4. Xét COD,ta có: OC OD CD (quan hệ giữa ba cạnh của tam giác) Suy ra : OA OB OC OD AB CD AC BD AB CD AC BD a c (1) Chứng minh tương tự : AC BD AD BC AC BD d b (2) Từ (1) và (2) suy ra a b c d 2 AC BD a b c d AC BD (*) 2 Xét ABC, ta có: AC a b Xét ADC,ta có: AC d c a c d b Suy ra : 2AC a b c d AC (3) 2 a c d b Chứng minh tương tự: BD ( ) (4) 2 Từ 3 ; 4 suy ra AC BD a b c d a c d b Từ * và ( ) suy ra AC BD a b c d (dfcm) 2 Câu 5. A D N K M H C B I a) Xét tứ giác AMNI có:
5. M· AN 900 (vì ABC vuông ở A) ·AMI 900 (Vì IM vuông góc với AB) ·ANI 900 (Vì IN vuông góc với AC) Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) 1 b) ABC vuông tại A, có AI là trung tuyến nên AI IC BC 2 Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến NA NC Mặt khác : NI ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành (1) Mà AC  ID (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi. c) Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H IH là đường trung bình BKC H là trung điểm của CK hay KH HC (3) Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK / /IH IH / /BK Do đó K là trung điểm của DH hay DK KH (4) 1 Từ 3 , 4 DK KH HC DK DC 3 Câu 6. Ta có: 2 1 1 2 2 a b 0 a b ab (1) 2 4 2 1 1 2 2 a c 0 a c ac (2) 2 4 2 1 1 2 2 a d 0 a d ad (3) 2 4 2 1 1 2 2 a e 0 a e ae (4) 2 4 Ta cộng 1 , 2 , 3 , 4 vế theo vế ta được:
6. 1 4. a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 4 a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e