Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2015 – 2016 Môn: Toán Ngày thi: 4 tháng 12 năm 2015 (Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang) Bài 1(3 điểm): a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9. b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a 2 + 3ab 11b2 chia hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5. Bài 2(4 điểm): a) Cho f (x) (x3 12x 31)2015 . Tính f(a) với a 3 16 8 5 3 16 8 5 . x4 y4 1 b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: x2 y2 1 và . a b a b x2016 y2016 2 Chứng minh rằng: a1008 b1008 (a b)1008 Bài 3 (4 điểm ): a) Giải phương trình: 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 4x2 2y2 2 b) Giải hệ phương trình sau : 2 x xy 2 Bài 4 (7 điểm ): Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC. b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng. AH 3 c) Chứng minh tỷ số không đổi. BC.BE.CF d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó. Bài 5 (2 điểm ): 1 1 1 Cho x;y;z dương sao cho 6 x y y z z x 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của P . 3x 3y 2z 3y 3z 2x 3z 3x 2y HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 M«n To¸n 9 C©u Néi dung Chia điểm I.a a.1,5 điểm 0,75 - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y N 0,75 - Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) I.b b.1,5 điểm - Ta có : 0,5 4a 2 3ab 11b 2 5 5a 2 5ab 10b 2 a 2 2ab b 2 5 0,25 a 2 2ab b 2 5 2 a b 5 0,5 a b5 ( Vì 5 là số nguyên tố) 0,25 - Ta có:a 4 b 4 a 2 b2 a b a b 5 (đpcm) Câu a(2 điểm) II a 3 16 8 5 3 16 8 5 0,5 0,5 3 3 3 a 32 33 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5 ) 0,5 a3 32 3.( 4).a a3 32 12a a3 12a 32 0 0,5 a3 12a 31 1 f (a) 12015 1 Câu b(2 điểm) x 4 y 4 (x 2 y 2 ) 2 Ta cã: (x 2 y 2 ) 2 1 nªn a b a b b(a b)x 4 a(a b)y 4 ab(x 4 2x 2 y 2 y 4 ) b 2 x 4 a 2 y 4 2abx 2 y 2 0 1 (bx 2 ay 2 ) 2 0 Tõ ®ã: x 2 y 2 x 2 y 2 1 x2016 y2016 1 x2016 y2016 2 a b a b a b a1008 b1008 (a b)1008 a1008 b1008 (a b)1008 KL: 1 III Câu a(2 điểm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 §K: 1,5 x 2,5 0,5 + Sö dông bÊt ®¼ng thøc c« si hoÆc Bu nhi a ®¸nh gi¸ VT 2 + §¸nh gi¸ VP 2 0,75 VT 2 2x 3 5 2x Do ®ã: PT x 2 VP 2 x 2 0,75 KL. III Câu b(2 điểm)
3. Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x = 2 y 1 3 - Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1 1 - Nếu x = 2 y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm 3 KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1). IV N K A F M I E B C P H O Q IV Câu a(1 điểm) XÐt tam gi¸c vu«ng ABH cã HE  AB AB.AE = AH2 (1) 0,5 XÐt tam gi¸c vu«ng ACH cã HF  AC AC.AF = AH2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra AE.AB = AF.AC. 0,5 IV Gãc IAH b»ng 2 lÇn gãc BAH Gãc KAH b»ng 2 lÇn gãc CAH Suy ra gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800 Suy ra I, A vµ K th¼ng hµng IV Câu c(2 điểm) Ta có: AH2 = BH.CH AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA = AH 3 BE.CF.AH.BC AH3 = BE.CF.BC = 1 BE.CE.BC IV Câu d(2 điểm) 1 1 BC SPQFE = (PE FQ).FE BC.FE . Mà FE PQ hay FE SPQFE 2 4 2 BC 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chính giữa của nửa đường tròn 8 tâm O, đường kính BC. V (2 điểm) HD Áp dụng BĐT + với a; b là các số dương. Ta có:
4. + ) = + ) + )+ + )] = + ) Tương tự + ) + ) Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được: + ) + + ) = + + ) =