Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Phù Ninh (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Phù Ninh (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4 điểm) a. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau: x + xy + y = 9 b. Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a 2 + 3ab 11b2 chia hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5. Bài 2 (4 điểm) a. Rút gọn biểu thức: P = x + 2y - x2 4xy 4y2 b. Cho f (x) (x3 12x 31)2014 . Tính f(a) với a 3 16 8 5 3 16 8 5 Bài 3 (4 điểm) 1 a. Giải phương trình sau : 3 3 x 3 +4 3 8x 24 - 3 27x 81 = 20 3 4x2 2y2 2 b. Giải hệ phương trình sau : 2 x xy 2 Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác BEF vuông tại B, hai phân giác trong BK và ED cắt nhau tại O (K FE;D BF). Vẽ KM và OJ vuông góc với BE; KN và OS vuông góc với BF (M, J BE; N, S BF) a. Chứng minh tứ giác BMKN là hình vuông b. Cho EO =10 5cm; DO =5 5cm. Tính BE, EF? KM 2 2 c. Cho . Tính các góc nhọn của tam giác EBF? JO 2 Bài 5 (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện: 3 a 5; 3 b 5 ;3 c 5 vµ a2 b2 c2 50. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a + b + c. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán Bài 1 (4 điểm) a. - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5 1,0 2 điểm - Vì x,y N - Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) 1,0 b. - Ta có : 2 điểm 4a 2 3ab 11b 2 5 5a 2 5ab 10b 2 a 2 2ab b 2 5 0,5 a 2 2ab b 2 5 0,5 2 a b 5 0,5 a b5 ( Vì 5 là số nguyên tố) - Ta có:a 4 b 4 a 2 b2 a b a b 5 (đpcm) 0,5 Bài 2 (4 điểm) a. P = x + 2y - x 2y 0,5 2 điểm + Nếu x 2y thì P = 4y 0,5 + Nếu x < 2y thì P = 2x 0,5 KL : 0,5 b. a 3 16 8 5 3 16 8 5 2 điểm 0,5 3 3 3 a 32 33 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5 ) 0,5 a3 32 3.( 4).a a3 32 12a a3 12a 32 0 0,5 a3 12a 31 1 f (a) 12014 1 0,5 Bài 3 (4 điểm) a. ĐKXĐ : mọi x thuộc R 0,25 2 điểm 1  3 3 x 3 +4.2 3 x 3 - .3 3 x 3 = 20 0,75 3  10 3 x 3 =20  3 x 3 =2  x-3 =8  x=11 0,75 KL : . 0,25 b. 2 Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x = y 2 điểm 3 0,5 - Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1 0,5 2 - Nếu x = y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm 3 0,5 KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1) 0,5 Bài 4 (6 điểm) a. 2 điểm - Từ (gt) ta có tứ giác BMKN có 3 góc vuông là hình chữ nhật (1) 1,0 - Từ (gt) ta có BK là đường phân giác (2) 0,5 - Từ (1);(2) suy ra tứ giác BMKN là hình vuông 0,5
3. b. 2 điểm B - Vì BO là phân giác trong tam giác BED ta có : S BE BD J D 0,5 = k > 0 (1) M EO DO O N 2 2 2 - Áp dụng Pyta go ta có :BE + BD = ED (2) E 0,5 - Thay (1) vào ( 2) ta tính được BD =15cm; BE = K F 20cm 0,5 - Làm tương tự ta tính được FE = 25cm ĐS: 0,5 c. 2 điểm BK BO OK OK OK 2 1 - Vì 1 0,5 BO BO OB OB 2 2 OK KF - Mặt khác FO là phân giác góc F nên OB BF KF 1 0,5 Suy ra = => BF = KF. 2 => BF2 = 2KF2 BF 2 - Lí luận tương tự ta có BE = EK. 2 BE2 = 2EK2 Vậy EF2 = BE2 + BF2 = 2 (KF2 + KE2) 0,5 (EK+KF)2 = 2(KF2 + EK2) EK2 +2EK.KF + KF2 = 2KF2 + 2EK2 KF2 – 2EK.KF + KE2 = 0 (KF – KE)2 = 0 KF = KE. 0,5 - Vậy BEF vuông cân tại B nên  EBF = 900 Suy ra  B =  C = 450 Bài 5 (2 điểm) + Theo ®Ò bµi ta cã: (a-3)(b-3)(c-3) 0 vµ (5-a)(5-b)(5-c) 0 abc- 3(ab+bc+ca) + 9(a+b+c)- 27 0 (1). 0,25 + Vµ -abc +5(ab+bc+ca) +125 0 (2). 0,25 + Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®­îc: 2(ab+ac+bc)- 16(a+b+c) +98 0. 0,25 + L¹i cã : a2 b2 c2 50 (gt) 0,25 + Nªn (a+b+c)2- 16(a+b+c) +48 0 P2-16P+ 48 0. (P-8)2 16 (*). 0,25 Do a, b, c 3 nªn P 9. - KÕt hîp víi (*) th× P-8 4 suy ra P 12. 0,25 - DÊu b»ng x¶y ra khi (a,b,c)= (3,4,5) vµ c¸c ho¸n vÞ. 0,5