Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GD&ĐT TỈNH HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NINH GIANG MÔN TOÁN Năm học 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Ninh Giang, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Câu 1: (3.0 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: 4 4 A 9 4 5 9 4 5 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 B (với x >2) 4 4 1 x2 x Câu 2 (2.0điểm). 1) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x + 5y + 3xy = 8 a 2 b2 c2 a b c 2) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b 2 Câu 3 (2,0 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau: x2 y 2 2 2 2 a) (4x 1) x 1 2x 2x 1 b) y z 2 2 z x 2 Câu 4 (2,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên đoạn OB. Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng: a) AC song song với DE. b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD Câu 5 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có B· AC=1050 . Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Kẻ đường cao AH (H BC). Chứng minh HA = HB. Hết Cán bộ coi thi không cần giải thích thêm. Họ và tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2 :
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2 MÔN TOÁN * Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa. * Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm. THANG CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 4 4 0,25đ A 2 2 5 2 5 2 2 2 1 1 2 5 2 5 2 5 2 5 2 0,25đ 5 2 5 2 4 0,5đ 2 2. 2.4 8 5 2 5 2 1 x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 B 0,25đ x2 4x 4 x2 2 2 x 2 2 x 2 2 0.25đ 1 2 x 2 x x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 0.5đ x 2 x 2 x x Nếu x 6 2x x 2 2x A 0.5đ x 2 x 2 Nếu x 6x + 15y + 9xy = 24 => (3x+5)(3y+2) = 34 0,5đ 2 0.5đ Xét các trường hợp và kết luận đúng pt đã cho vô nghiệm nguyên dương a 2 b2 c2 2) Do a,b,c > 0 0; 0 ; 0 b c c a a b áp dụng BĐT cô-si cho hai số dương ta có
3. a 2 b c a 2 b c 2 . a (1) b c 4 b c 4 b2 c a b2 c a 0,25 Tương tự 2 . b (2) c a 4 c a 4 c2 a b c2 a b 2 . c (3) a b 4 a b 4 0.25đ Cộng từng vế (1),(2) và (3 ) ta được a 2 b2 c2 a b c a a b a b c b c c a a b 4 a 2 b2 c2 a b c 0.25đ b c c a a b 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 0.25đ 1) (4x 1) x2 1 2x2 2x 1 (*) Đặt x2 1 a a 1 0,25đ (*) => (4x-1).a = 2a2 + 2x - 1 (2a 1)(a 2x 1) 0 a 0,5 (Loai) a 2x 1(1) 0,25đ x 0(Loai) x 0,5 x2 1 2x 1 (1)=> => 2 2 4 0.25đ x 1 4x 4x 1 x 3 3 4 Thử lại (*) có x = là nghiệm 0.25đ 3 2) x2 y 2 2 y z 2 2 z x 2 Do vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử: x y z x2 2 y2 2 z2 2 Kết hợp với hệ đã cho suy ra: y z x 0.5đ
4. => x = y = z 0.25đ => x = y = z = -1 hoặc x = y = z =2. Thử lại đúng. Vậy hệ có hai nghiệm (x,y,z) = {(-1; -1; -1);(2; 2; 2)} 0.25đ Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề bài C 1 K E 1 2 0,25đ 1 A B H O D I 4 a) Ta có ·ACB = D· EB =900 nên AC// DE 0,75đ b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD. Có HK là đường trung bình của hình thang ACED => HK vuông góc với CE => CHE cân tại H 0,5đ µ µ ¶ µ µ µ 0 => E1 =C1 . Có E2 =B1 và B1 C1 90 0,25đ µ ¶ 0 · 0 => E1 +E2 90 => HEI 90 Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD 0.25đ 5 A D M K B H C Ta có MA = MH = MC => M· HC M· CH 2B· CK Mà BK = CK => B· CK K· BC M· HC 2K· BC Lại có M· HC K· BC K· MH => BHM cân tại H => HM = HB 0.25đ Giả sử HA > HB (1) Ta có: ·ABH B· AH B· AH 450 H· AC 600 0.5đ ·AMH 600 AH HM AH HB (Mâu thuẫn với (1)) 0.25đ Tương tự chứng minh được AH <HB không xảy ra Vậy AH = HB