Đề thi học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN LỚP 8 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Câu 1. (4,5 điểm) 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 2) Cho x2 x 1.Tính giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1 Câu 2. (4,5 điểm) x 1 x 1 4 4026 1) Cho biểu thức R 2 2 3 : . Tìm x để biểu thức xác x 2x x 2x x 4x x định, khi đó hãy rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh n3 n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013là một số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD 2AB 2AD và BC a 2 a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I là trung điểm của BC,H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh H· DI 450 2) Cho tam giác ABC có BC a,CA b, AB c.Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là la ,lb ,lc.Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 la lb lc a b c Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 b2 a b.Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S a 1 b 1
2. ĐÁP ÁN Câu 1. 1) Ta có: P 2 a3 b3 7ab(a b) 2 a b a2 ab b2 7ab a b a b 2a2 2b2 5ab a b 2a2 4ab 2b2 ab a b 2a a 2b b a 2b a b 2a b a 2b Kết luận P a b 2a b a 2b 2) Ta có: Q x2. x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x2 x x 1 2 2 x2 x2 x x2 x x 2 x2 x 3 4 Vậy Q 4 Câu 2. 1) x 1 x 1 4 x Ta có: R . x x 2 x x 2 2 4026 x x 4 2 x 0 ĐK: x x 4 0 x 2 Khi đó: 1 x 1 x 1 4 R . 2 4026 x 2 x 2 x 4 1 x 1 x 2 x 1 x 2 4 . 4026 x2 4
3. 2 1 2 x 4 1 . 4026 x2 4 2013 x 0 1 Vậy R xác định khi và R x 2 2013 2) +Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành : x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x2. x2 5 0 x 0(ktm) x 5(tm) x 5(ktm) +)Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành: 2 x x 1 x 1 x 2 4 x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 8 0 2 2 5 7 x 0 vô nghiệm 2 4 Phương trình có một nghiệm x 5 Câu 3. 1) Ta có: n3 n n n 1 n 1 Vì n 1;n;n 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3. Do đó n3 n 8 (2) Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với 1 ; 2 suy ra n3 n 24 dpcm 2) Giả sử n2 4n 2013 m2 m ¥ Suy ra n 2 2 2009 m2 m2 n 2 2 2009
4. m n 2 m n 2 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường hợp sau: m n 2 2009 m 1005 TH1: m n 2 1 n 1002 m n 2 287 m 147 TH 2: m n 2 7 n 138 m n 2 49 m 45 TH3: m n 2 41 n 2 Vậy các số cần tìm là 1002;138;2 Câu 4. A B H I D E C 1) a) Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân Từ đó suy ra AB AD a,BC 2a AB CD .AD a 2a .a 3a2 Diện tích của hình thang ABCD là S 2 2 2 b) ·ADH ·ACD(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc) Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có:
5. AD IB 1 , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng DC BC 2 Suy ra ·ACD B· DI (2) Từ 1 , 2 ·ADH B· DI Mà ·ADH B· DH 450 B· DI B· DH 450 hay H· DI 450 2) M A B D C Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M Ta có: B· AD ·AMC (hai góc ở vị trí đồng vị) D· AC ·ACM (hai góc ở vị trí so le trong)
6. Mà B· AD D· AC nên ·AMC ·ACM hay ACM cân tại A, suy ra AM AC b AD BA c Do AD / /CM nên CM BM b c c AD 1 1 1 1 Mà CM AM AC 2b (1) b c 2b la 2 b c 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự ta có: (2); (3) lb c a lc 2 a b Cộng 1 ; 2 ; 3 vế theo vế ta có điều phải chứng minh Câu 5. Ta có: a2 1 2a;b2 1 2b a2 b2 2 2a 2b a b 2 1 1 4 Chứng minh được với hai số dương x, y thì x y x y 1 1 4 Do đó: S 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 1 Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a b 1