Đề thi học sinh giỏi văn hóa môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Cam Lộ (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi văn hóa môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Cam Lộ (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỀC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 +2009 x2 +2008 x +2009 Câu 2:(1 điểm) Giải phương trình sau: x 2 + 2x 45 = 3x 8 + 4x 69 13 15 37 9 Câu 3: (2 điểm) a4 b4 a/ Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2 2 b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b. 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P= a b Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện : a2006 b2006 a2007 b2007 a2008 b2008 Hãy tính tổng: S= a2009 b2009 2 3 5 13 48 b/ Chứng minh rằng :A= là số nguyên 6 2 Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 Câu 6: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E. a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân. c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh GB HD rằng: BC AH HC
2. PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỀC Câu 1: (1 điểm) x4 +2009 x2 +2008 x +2009 = ( x4 + x2 +1) +2008( x2 + x +1) 0,25 đ = ( x2 + x +1)( x2 - x +1)+ 2008( x2 + x +1) 0.5 đ = ( x2 + x +1)( x2 - x +2009) 0,25 đ Câu 2: ( 1 điểm) x 2 + 2x 45 = 3x 8 + 4x 69 13 15 37 9 x 2 2x 45 3x 8 4x 69 ( +1)+( -1)=( +1)+( -1) 0,25đ 13 15 37 9 x 15 2(x 15) 3(x 15) 4(x 15) = + 0,25đ 13 15 37 9 1 2 3 4 (x 15)( ) 0 0,25 đ 13 15 37 9 x=-15 0,25 đ Câu 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) a4 b4 ab3 a3b a2b2 2 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 0,25 đ a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 0 0,25 đ (a4 2a3b a2b2 ) (b4 2ab3 a2b2 ) 0,25 đ (a2 ab)2 (b2 ab)2 0 0,25 đ b/ (1 điểm) 1 1 a b 5 P= = = 0,25 đ a b ab ab 20 20 4 P= = 0,5 đ 4ab (a b)2 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a=b= 5 0,25 đ 5 2 Câu 4 (2 điểm)
3. a/ (1 điểm) Ta có: a2008 b2008 ( a2007 b2007 )(a b) ab(a2006 b2006 ) 0,25 đ 1= a b ab 0,25 đ (1 a)(1 b) 0 0,25 đ a 1,b 1 Vậy S=1+1=2 0,25 đ b/ (1 điểm) 2 3 5 13 48 A= 6 2 2 3 5 (2 3 1)2 A= 0,25 đ 6 2 2 3 ( 3 1)2 = 0,25 đ 6 2 2 2 3 ( 6 2)2 = = 0,25 đ 6 2 6 2 =1 Z 0,25 đ Câu 5 (1 điểm) xy-2x-3y+1=0 xy-3y=2x-1 y(x-3)=2x-1 0,25 đ Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x 3 thì y=2+ 5 0,25 đ x 3 Để y nguyên thì x-3 phải là ước của 5 0,25 đ Suy ra: (x,y) là (4,7) ;(8,3) 0,25 đ Câu 6 (3 điểm) a) (1đ điểm) Tam giác ADC và tam giác BEC: CD CA ( vì hai tam giác CE CB CDE và CAB đồng dạng)
4. Góc C: chung 0,75 đ Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,25 đ b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: BEC ADC có: ADC EDC ADE 1350 Suy ra: BEC 1350 0,5 đ Suy ra: AEB 450 0,25 đ Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 45 0 ) 0,25 đ c)(1 điểm) Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH 0,5 đ GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: 0,5 đ GC HC GB GC HD HC BC AH HC