Đề thi học sinh giỏi vòng I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi vòng I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2,0 điểm). x 2 x 1 1 Cho biểu thức: A với x 0, x 1 x x 1 x x 1 1 x 1) Rút gọn A 1 2) Chứng tỏ rằng: A 3 Câu II (2,0 điểm). 1) Giải phương trình: x x 15 17 2) Tìm x, y sao cho: 5x 2 x 2 y y2 1 0 Câu III (2,0 điểm). 1) Tìm số nguyên x, sao cho : x 2 x p 0 với p là số nguyên tố. m2 2013m 2012 2) Tìm m để hàm số bậc nhất y x 2011 là hàm số m2 2 2m 3 nghịch biến. Câu IV (3,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh AH = 2.IO. b) Biết B· AC 600 , tính độ dài dây BC theo R. 2) Cho ABC(Aµ 900 ) , BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp r 2 1 ABC là r. Chứng minh rằng: . a 2 Câu V (1,0 điểm). Cho x 3y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C x2 y2 –––––––– Hết ––––––––
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Câu Phần Nội dung Điểm x 2 x 1 1 A 0.25 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 x x 1 A 0.25 x 1 x x 1 1 (1,0 đ) x x A 0.25 x 1 x x 1 x x 1 x Câu I A , với x 0, x 1 0.25 (2,0 điểm) x 1 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 1 Xét A 0.50 3 3 x x 1 3(x x 1) 2 Do x 0, x 1 2 (1,0 đ) 2 1 3 x 1 0 và x x 1 x 0 0.25 2 4 1 1 A 0 A 0.25 3 3 ĐKXĐ: x 15 x x 15 17 x 15 x 15 2 0 0.25 Đặt t x 15 (t 0) t2 t 2 0 0.25 1 (1,0 đ) t 2 TM§K t 2 t 1 0 0.25 t 1 lo¹i Với t 2 x 15 2 x 15 4 x 19 (TMĐK) 0.25 ĐKXĐ: x 0 2 2 Câu II 5x 2 x 2 y y 1 0 4x 4 x 1 x 2y x y 0 0.25 (2,0 điểm) 2 2 2 x 1 x y 0 (1) 0.25 2 2 Vì 2 x 1 0, x y 0x 0, y 2 2 2 (1,0 đ) 2 x 1 x y 0 . 0.25 1 x 2 x 1 0 4 Để (1) xẩy ra thì (TM) 0.25 1 x y 0 y 2 Theo bài ra: p x 2 x x x 1 mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp Câu III 1 nên x x 1 là số chẵn p là số chẵn. 0.25 (2,0 điểm) (1,0 đ) Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 0.25 2 x x 2 0 x 2 x 1 0 x = 1 hoặc x = - 2 (TM) 0.50
3. m2 2013m 2012 Để hàm số y x 2011 nghịch biến thì m2 2 2m 3 2 2 m 2013m 2012 2 0 (1). m 2 2m 3 m 2 1 0m 0.25 m2 2 2m 3 (1) m2 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0 0.25 2 (1,0 đ) m 1 0 m 1 m 2012 0 m 2012 m 1 0 m 1 0.25 m 2012 0 m 2012 1 m 2012 0.25 A Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK A· BK A· CK 900 E KB  AB,KC  AC 0.25 F CH  AB,BH  AC (gt) O H BK // CH,CK // BH 1a BHCK là hình bình hành 0.25 C (1,0 đ) B I I là trung điểm của BC (gt) I là trung điểm của HK K O là trung điểm của AK (gt) OI là đường trung bình của KAH 0.25 1 OI AH AH 2.IO 0.25 2 OA OC OAC cân tại O O· AC O· CA K· OC O· AC O· CA (T/c góc ngoài của tam giác) · · KOC 2.OAC 0.25 · · Câu IV Chứng minh tương tự: KOB 2.OAB (3,0 điểm) 1b K· OC K· OB 2 O· AC O· AB B· OC 2.B· AC 1200 0.25 (1,0 đ) OB OC OBC cân tại O O· CI 1800 1200 : 2 300 0.25 Vì I là trung điểm của BC (gt) OI  BC 3 Trong OIC I 900 : IC OC.cos300 R. BC R 3 0.25 2 B r 2 1 2r a 2 a 2r a a 2 D 0.25 a 2 r E O C/m được AB + AC = 2r + a 0.25 AB AC BC 2 A 2 F C AB2 2AB.AC AC2 2BC2 (1,0 đ) AB2 2AB.AC AC2 2AB2 2AC2 AB AC 2 0 1 0.25 r 2 1 BĐT (1) đúng , dấu “=” xảy ra khi ABC v/cân tại A. 0.25 a 2 Câu V (1,0 đ) (1,0 điểm) Do x 3y 1, đặt x 3y 1 a với a 0 x = 1 + a – 3y, thay vào
4. biểu thức C: C 10y2 6ay 6y a 2 2a 1 0.25 2 3 1 2 1 1 C 10 y a 1 a 2a . 0.50 10 10 10 10 1 min C khi: 10 3 3 3 3 y y a 1 0 y y 10 10 10 10 1 0.25 a 0 a 0 x 3y 1 x 10 * Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.