Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Quế Sơn (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Quế Sơn (Có đáp án và thang điểm)

1. UBND H. QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2.5 điểm): a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 . b) Cho f ()x ax2 bx c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a b 2c 0 . Chứng tỏ rằng: f ( 2). f )3( 0 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 Bài 2 (2.0 điểm): Giải các phương trình sau: x 1x 2x 3x 4 a) b) 2( x )5 3 (x )2 3 (x )3 3 20132012 2011 2010 Bài 3 (2.5 điểm): Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD. a) Chứng minh DE  CF. b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Bài 4 (2.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. Chứng minh : a) ABC đồng dạng với HCG b) AC2 AB.AG AD.AH Bài 5 (1.0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n (5n 1) 6n (3n 2) n M 91 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(2.5 điểm): Có: a2 + b2 2ab; a2 + c2 2ac; b2 + c2 2ac Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2ac + 2bc 0,25 a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) a + b + c = 0 a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 0 0,25 -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2) Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc 0 ab + bc + ca 0 0,25 f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c 0,25 Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên: Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0 f(-2).f(3) = 0 (1) 0,25 Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau f(-2).f(3) < 0 (2) Từ (1) và (2) được f ( 2). f )3( 0 0,25 4M 4x2 4y2 4xy 4x 4y 4 (2x y 1)2 3y2 2y 3 218 (2x y 1)2 3(y2 y ) 0,50 393 18 (2x y 1)2 3(y ) 2 33 8 1 2 Giá trị nhỏ nhất của 4M là tại y ; x = nên 3 3 3 0,50 2 1 2 Giá trị nhỏ nhất của M là tại y ; x = . 3 3 3 Bài 2(2.0 điểm): x1 x2 x4 x 3 1 1 1 1 0,25 20132012 20102011 x1 2013 x2 2012 x4 2010 x3 2011 20132013 20122012 20102010 2011 2011 0,25 x 2014x 2014 x 2014x 2014 2013 20122010 2011 1111 (x 2014) 0 0,25 20132012 20102011 1111 Do 0 nên phương trình có nghiệm x = 2014 0,25 20132012 20102011 Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b a - b = x -3 0,50 Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2) (a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0 0,25 3ab(a-b) = 0 5 a = 0 x ; b = 0 x = 2; a = b x = 3 0,25 2 2
3. Bài 5 (1.0 điểm): A = 5n (5n 1) 6n (3n 2) n 25n 5 n18n 12 n 0,25 A (25n 18 n ) (12n 5n ) . A chia hết cho 7 0,25 A (25n 12 n ) (18n 5n ) . A chia hết cho 13 0,25 Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91 0,25 Bài 3 (2.5 điểm): A E B F M D C Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF) 0,25 Chứng tỏ được CDF = DAE FCD EDA 0,25 Có EDA và EDC phụ nhau ECD và EDA phụ nhau hay CF DE 0,25 Tương tự có CE  BF 0,25 Chứng minh được CM  EF: Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF. 0,50 MCG EFM (Hai HCN bằng nhau) CMG FMH (Đối đỉnh) MHF MGC = 900 CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy 0,25 AE ME 2 (AE - ME)2 0 nên (AE + ME)2 4AE.ME AE.ME 0,25 4 AB2 S . Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME. AEMF 4 0,50 Lúc đó M là trung điểm của BD. Bài 4 (2.0 điểm): Chứng tỏ được: CBG đồng dạng với CDH. 0,25 CG BCBC 0,25 CHDC BA ABC HCG (Cùng bù với BAD ) 0,50 ABC đồng dạng với HCG Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC. AFAD 0,25 AFD đồng dạng AHC: AF.AC AD.AH AHAC 3
4. AEAB AEB đồng dạng AGC: AE.AC AG.AB 0,25 AGAC Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB 0,25 AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB Chứng tỏ được AE = FC. Thay được: 0,25 AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB AC2 = AD.AH+AG.AB 4