Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI OLYMPIC HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 Năm học 2015-2016 (Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1. Phân tích thành nhân tử: x4 6x2 7x 6 Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của : x4 y4 z4 biết x y z 2 Bài 3. Cho x, y,a,b là những số thực thỏa mãn: x4 y4 x2 y2 và x2 y2 1 a b a b x2006 y2006 2 Chứng minh: a1003 b1003 a b 1003 Bài 4. Cho a,b,clà các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a 1 1 1 bc a2 ac b2 ab c2 a b c Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC AB AC . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 2MA , trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng 1 Bx vuông góc với AB,trên Bx lấy điểm N sao cho BN AB . Đường thẳng MC 2 cắt NAtại E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F. a) Chứng minh AF AM. b) Gọi H là trung điểm của FC.Chứng minh EH BM
2. ĐÁP ÁN Bài 1. x4 6x2 7x 6 x4 2x3 2x3 4x2 2x2 4x 3x 6 x3 x 2 2x2 (x 2) 2x x 2 3 x 2 x 2 x3 2x2 2x 3 x 2 x3 3x2 x2 3x x 3 2 x 2 x x 3 x x 3 x 3 x 2 x 3 x2 x 1 Bài 2. Áp dụng công thức Bunhiacopski ta có: 2 2 x y z 4 x y z 2 3 x y z 2 2 9 x2 y2 z2 27 x4 y4 z4 16 16 27 x4 y4 z4 x4 y4 z4 27 16 2 Vậy GTNN của x4 y4 z4 là x y z 27 3 Bài 3. Từ giả thiết suy ra: 2 4 4 2 2 x y x y 2 bx4 ay4 a b ab x2 y2 a b a b 2 b2 x4 a2 y4 2abx2 y2 0 bx2 ay2 0 x2 y2 x2 y2 1 bx2 ay2 0 a b a b a b x2006 y2006 1 x2006 y2006 2 (dpcm) a1003 b1003 a b 1003 a1003 b1003 a b 1003
3. Bài 4. Ký hiệu vế trái là A,vế phải là B,xét hiệu A B a b 1 b c 1 c a 1 bc a2 a ac b2 b ab c2 c a2 ab bc a2 b2 bc ac b2 c2 ac ab c2 a bc a2 b ac b2 c ab c2 b a c c b a a c b a bc a2 b ac b2 c ab c2 Do a,b,cbình đẳng nên giả sử a b c,khi đó b a c 0,c b a 0 , a c b 0 b a c b a c a3 b3 c3 abc a3 abc b3 abc c3 a bc a2 b ac b2 b a c c b a a c b ab ac ac ab A B b ac b2 b ac b2 c ab c2 b ac b2 c ab c2 a b c a b c b ac b2 c ab c2 1 1 Mà nên A B 0 đpcm b ac b2 c ab c2
4. Bài 5. K F A E M N B C a) Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN tại K. Ta có: AC  AB gt ,KB  AB gt FC / /KB AF AE  NB EN AF AC AF AC AB2  AF 1 AC AE NB NK AB NK 2NK NK EN  AC AM 1 AC 1 AB 1 AB BK MB 2 KN NB 2 KN 2 2 2AB 1 3 4AB 2KN AB KN AB (2) 2KN AB 2 2 AB2 AB Từ (1) và (2) AF AF AM (Đpcm) 3AB 3 b) Từ chứng minh trên suy ra AFB AMC ·ABF ·ACM Mà ·ABF ·AFB 900 ·ACM ·AFB 900 FC F· EC 900 EH FH 2 AC AC 2AC Mà FH FA AH BM EH BM dfcm 3 3 3