Đề thi tuyển sinh học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 2 (b-2c)+b2 (c-a)+2c2 (a-b)+abc . 2) Cho x, y thỏa mãn x 3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . Tính giá trị của biểu thức A x4 +x3y+3x2 +xy- 2y2 +1. Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình (x2 - 4x+11)(x4 - 8x2 +21) 35 . 2 2 x+ x +2012 y+ y +2012 2012 2) Giải hệ phương trình . 2 2 x + z - 4(y+z)+8 0 Câu III (2,0 điểm) 1)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n 2 + n + 1) không chia hết cho 9. 2)Xét phương trình x 2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE. 1) Tính B· IF . 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp. 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 1 1 thức B (a+b+c+3) + + . a+1 b+1 c+1 Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên) Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm a 2 (b - 2c) +b2 (c - a) + 2c2 (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a 2 b2 ) ac(a 0,25b) (a b)[2c2 2ac ab bc] 0,25 (a b)[2c(c a) b(a c)] 0,25 (a b)(a c)(b 2c) 0,25 2) 1,0 điểm Có x = 3 y- y2 + 1 3 y+ y2 + 1 0,25 3 2 2 2 2 x = 2y +33 y - y + 1 . 3 y+ y + 1 3 y- y +1 3 y+ y +1 x3 + 3x -2y = 0 0,25 A = x4 + x3y + 3x2 - 2xy + 3xy - 2y2 + 1 = (x4 +3x2 -2xy) +(x3y+3xy - 2y2 ) 10,25 x(x3 +3x-2y) +y(x3 +3x - 2y) 1 1 0,25 Câu II (1,0đ) 1)1,0 điểm phương trình đã cho tương đương với 0,25 2 2 2 (x 2) 7 (x 4) 5 35(1) (x 2)2 7 7x  0,25 Do (x 2)2 7 (x2 4)2 5 35x 2 2  (x 4) 5 5x (x 2)2 7 7 0,25 (1) 2 2 (x 4) 5 5 x=2 0,25 2)1,0 điểm 2 2 0,25 (x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1) 2 2 x + z - 4(y+z)+8=0 (2) (1) x x2 2012 y y2 2012 y2 2012 y 2012 y2 2012 y (Do y2 2012 y 0y )
3. x x2 2012 2012 2012 y2 2012 y x x2 2012 y2 2012 y x y y2 2012 x2 2012 y2 2012 x2 2012 y2 2012 x2 2012 x y y2 2012 x2 2012 y2 x2 y2 2012 y x2 2012 x x y (x y) 0 y2 2012 x2 2012 y2 2012 x2 2012 Do 0,25 2  y 2012 | y | yy 2 2  y 2012 y x 2012 x 0 y x 2 x 2012 | x | xx Thay y=-x vào(2) x2 z2 4x 4z 8 0 (x 2)2 (z 2)2 0 0,25 (x 2)2 0 x 2 0,25 y x 2 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(- 2 (z 2) 0 z 2 2;2;2). Câu III (2,0đ) 1)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + 1 do n ¢ n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k 0,25 ¢ ) * n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3) 0,25 * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9. 0,25 * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9 0,25 Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9. * 2)1,0 điểm Gi¶ sö tån t¹i m ¥ ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 0,25 2 x1 x2 m 2 Theo vi-et: (x1 - 1) (x2 - 1) = - m + 2m + 3 x1x2 2m 2 * Với m ¥ . Ta cã x1x2 4 vµ x1 + x2 1 mà x1hoÆc x2 nguyªn vµ 0,25 2 * * x1 x2 m ¥ x1, x2 ¥ (x1 1)(x2 1) 0 m2 2m 3 0 (m 1)(m 3) 0 m 3 m {1;2;3} Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. 0,25 Víi m = 3 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· 0,25 cho lµ x =1; x = 8 tho¶ m·n. VËy m= 3 Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề 0,25
4. B F K H D O I A E M C Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K 0,25 1 0,25 Có D· FE= D· OE=450 2 B· IF 450 0,25 2) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => D· BH=450 .Có 0,25 D· FH=450 => Tứ giác BDHF nội tiếp => 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn. 0,25 => B· FO=B· HO 900 => OH  BM , mà OA  BM => A, O, H 0,25 thẳng hàng B· AH=B· IH 450 => Tứ giác ABHI nội tiếp. 0,25 3) 1,0 điểm B 0,25 F P D O N A E M C Q Có tứ giác PNQD nội tiếp = > Q· PN=Q· DN=E· FN . Tương tự có N· QP=N· DP=F· EN => ΔNEF và ΔNQP đồng dạng PQ NQ 0,25 => = 1 PQ EF EF NE Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q  E => DN là đường kính 0,25
5. của (O) => PQ lớn nhất bằng EF. Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại 0,25 M thì PQ lớn nhất. Câu V Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0 a b c 1 = >1 z y x 2 0,25 (1,0đ) 1 1 1 x x y y z z Khi đó A= (x+y+z)( )=3+3 x y z y z x z x y x y x y x.y x y x 0,25 1 1 0 1 0 1 y z y z y.z y z z z y z y z.y z y z 1 1 0 1 0 1 y x y x y.x y x x x y z y x z x x y y z z x z 2 2 2 y z y x z x y z x z x y z x x 0,25 Đặt = t =>1 t 2 z x z 1 t 2 1 2t 2 5t 2 5 (2t 1)(t 2) 5 t z x t t 2t 2 2t 2 (2t 1)(t 2) x z 5 Do 1 t 2 0 2t z x 2 5 A 3 2. 2 10 2 Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10 0,25