Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở GD&ĐT Phú Thọ (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở GD&ĐT Phú Thọ (Có đáp án và thang điểm)

1. Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o k× thi tuyÓn sinh líp 10 phó thä THPT chuyªn hïng v­¬ng n¨m häc 2009-2010 §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n (Chuyªn To¸n) Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò. (§Ò thi cã 01 trang) mx y 2 (1) Câu 1(2 điểm). Cho hệ phương trình: (m là tham số) x my 5 (2) a) Chứng tỏ hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình trên có nghiệm (x, y) thoả mãn x + y = 5. Câu 2(1 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x3 y3 z2 trong đó y là số nguyên tố, z;3 z; y 1 Câu 3(3 điểm). a) Giải phương trình: x 1 2009 x 1 2008 x 2 x 1 2007 x 2 2  x 1 x 2 2008 x 2 2009 0 5 b) Cho x, y là các số thực dương thoả mãn điều kiện x y . Tìm giá trị nhỏ nhất 4 4 1 của biểu thức A . x 4y Câu 4(3 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho B· AP P· BC;C· AP P· CB . Đường thẳng AP cắt cạnh BC tại M. a) Chứng minh rằng M là trung điểm của cạnh BC . b) Chứng minh rằng tứ giác BHPC nội tiếp trong một đường tròn () , trong đó H là trực tâm tam giác ABC . c) Đường trung trực của đoạn thẳng PA cắt đường thẳng BC tại Q . Chứng minh rằng QA tiếp xúc với (O) và QP tiếp xúc với () . Câu 5(1 điểm). Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab bc ca 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 2 b2 2 c2 2 ——Hết—— Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh SBD
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chuyªn To¸n) Câu Ý Nội dung Điểm Từ (1) y = mx -2 (3) 0.25 2m 5 0.25 Thế vào (2) được x = 2 ;m a) m 1 (1đ) 5m 2 Từ đó tính được y = m2 1 0.25 1 Kết luận 0.25 7m 3 x + y = 7 2 = 7 0.5 b) m 1 (1đ) m 1 0.5 Tìm được 2 ; kết luận m 5 Phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 2 x y x xy y z x y x y 3xy z (1) 0.25 Do y là số nguyên tố, z;3 z; y 1 nên từ (1), x; y 1, x y;3 1 (2) 2 2 2 2 Từ (1),(2) suy ra x y m , x xy y n , z mn với m,n ¢ .Từ đó 0.25 4n2 4x2 4xy 4y2 2x y 2 3y2 3y2 2n 2x y 2n 2x y Từ đó, do y là số nguyên tố, nên có các trường hợp sau xảy ra 2 (1đ) • 2n 2x y 3y2 ,2n 2x y 1: Suy ra 3y2 1 2 2x y 2 2m2 3y 0.25 suy ra m2 1 3y2 6y 3m2 3, nhưng m2 1 3m , vô lý • 2n 2x y 3y,2n 2x y y . Suy ra 2y 4x 2y x 0 , loại • 2n 2x y y2 ,2n 2x y 3. Suy ra y2 3 2 2x y 2 2m2 3y do đó y 3 2 4m2 12 . Tìm được y 7,m 1, x 8, z 13 0.25 Vậy x; y; z 8;7;13 là nghiệm duy nhất của phương trình. Do an bn a b an 1 an 2b an 3b2  abn 2 bn 1 , 0.25 với a x 1,b x 2 0.5 suy ra phương trình đã cho tương đương với x 1 2010 x 2 2010 a) 3 (1,5đ) 2 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 x 0.5 x 1 x 2 2 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0.25 2
3. 4 4 Với x > 0 ta có: 4x 2 .4x 8 0.5 x x 1 1 Với y > 0 ta có: 4y 2 .4y 2 4y 4y 0.5 4 1 4 1 4(x y) 10 A 5 x 4y x 4y b) 4 (1,5đ) 4x x x 1 1 Dấu đẳng thức xảy ra 4y 1 0.5 4y y 4 5 x y 4 1 Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y = 4 A E P F H O 0.25 a) C 4 (1đ) Q B M 2 Từ giả thiết, suy ra ABM : BPM (g.g) suy ra BM AM  PM (1) 0.25 2 Tương tự, ACM : CPM (g.g) suy ra CM AM  PM (2) 0.25 Từ (1),(2) suy ra BM CM suy ra điều phải chứng minh. 0.25
4. Gọi E, F là giao điểm của BH,CH với các cạnh AC, AB . Khi đó do · · 0 AEH AFH 90 nên tứ giác AEHF nội tiếp, 0.25 · · 0 · 0.25 b) suy ra BHC EHF 180 BAC (1) (1đ) Từ cách xác định điểm P suy ra 0.25 B· PC 1800 P· BC P· CB 1800 P· AB P· AC 1800 B· AC (2) Từ (1) và (2), do tam giác ABC nhọn, nên bốn điểm B,C, H, P cùng nằm trên một đường tròn. 0.25 M N P X + Phát biểu và chứng minh bổ đề. Điểm X nằm trên cạnh NP của tam giác MNP 2 · · NX MX 0.25 sao cho NMX MPN. Khi đó NP MP · · + Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại Q1. Do Q1 AB ACQ1 , nên 2 Q1B AB (3) Q1C AC c) 0.25 + Tiếp tuyến tại P của đường tròn () cắt BC tại Q . Do Q· PB P· CB , nên (1đ) 2 2 2 Q2 B PB (4) Q2C PC + Theo kết quả phần 1, M là trung điểm BC suy ra · · · AB sin CAP SABM SACM ABsin BAP AC sin CAP (5) AC sin B· AP 0.25 cũng vậy · · · PB sin PCM sin PAC SPBM SPCM PBsin PBM PC sin PCM (6) PC sin P· BM sin P· AB Q1B Q2 B Từ (3),(4),(5),(6) suy ra Q1  Q2 Q1C Q2C 2 2 0.25 Do Q1 AB : Q1CA và Q1PB : Q1CP , nên Q1 A Q1B Q1C Q1P suy ra Q1 A Q1P . Suy ra Q1  Q . Điều phải chứng minh.
5. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2b2 b2c2 c2a2 a2b2c2 4 0.25 Đặt bc x,ca y,ab z . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 0.25 x2 y2 z2 xyz 4 với x, y, z 0 : x y z 3 Không giảm tổng quát, coi x min x, y, z , thế thì x 1 và x2 y2 z2 xyz 4 x2 y z 2 yz x 2 4 2 1 2 5 (1đ) x2 y z y z x 2 4 4 x 2 2 x 2 2 x2 y z 4 x2 3 x 4 0.5 4 4 1 2 x 1 x 2 0 4 Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z 1 a b c 1 Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa.