Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn thi: Toán ( Chuyên toán - tin ) Ngày thi: 15/6/2013 Thời gian làm bài: 150’ x 2 x 2 Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q x x ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1) x 2 x 1 x 1 1. Rút gọn Q 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên x 2 3 13 x 3 y 1 10 Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: 3 2y 4 11 x 3 y 1 6 bc ca ab Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : a b c. a b c Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A,B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD. 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất. Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức: A 7 13 7 13 2 *
2. HƯỚNG DẪN GIẢI x 2 x 2 Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q x x ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1) x 2 x 1 x 1 1.Rút gọn Q x 2 x 2 x 2 x 2 Q x x x x 1 x 1 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 2 x x 2 2x . x x 1 . x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên: 2x 2 Q= 2 Q ¢ x 1 U(2)= 2; 1;1;2 x 1;0;2;3 Kết hợp với điều x 1 x 1 kiện => x 0;2;3 Vậy với x 0;2;3 thì Q nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: x 2 3 13 1 3 13 1 3 3 1 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 ( ĐK x ≠ 3; y ≠ -1) 3 2y 4 11 3 2 11 3 2 1 2 x 3 y 1 6 x 3 y 1 6 x 3 y 1 6 3 1 1 1 a 3b a 1 1 10 10 x 3 10 x 13 Đặt a = ; b= ta được hệ : (TMDK) x 3 y 1 1 1 1 1 y 14 3a 2b b 6 15 y 1 15 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (13;14) bc ca ab Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : a b c. a b c a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được: bc ca bc ca  2 . 2c a b a b ca ab ab ca bc ca ab bc ca ab 2 . 2a  2 2. a b c a b c b c c b a b c a b c bc ab bc ab 2 . 2b a c a c  Bài 4: (3 đ) 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn. HA=HB => OH  AB ( đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm) =>O· HM = 900 Lại có O· DM = 900 ( Tính chất tiếp tuyến) Suy ra O· HM =O· DM = 900 => H,D cùng nhìn đoạn OM dưới 1 góc vuông => H,D cùng nằm trên đường tròn đường kính OM => các điểm M,D,O,H cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
3. 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD. Ta có: C· OI D· OI( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)=>CºI DºI => C· DI D· IM => DI là phân giác trong của ∆ MCD (1) Lại có MI là đường phân giác trong của ∆ MCD ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) Từ (1) và (2) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MCD 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất. Ta có ∆MOD = ∆MOP (g-c-g) => S∆ MPQ= 2 S∆ MOQ =OD.MQ = R.MQ Q => S∆ MPQ nhỏ nhất MQ nhỏ nhất (3) Theo BĐT Cô – si cho hai số không âm , D ta có: MQ = MD+DQ ≥ 2 MD.DQ 2 OD2 2OD 2R 2 ( Vì ∆ MOD vuông tại O có đường cao OD nên OD =MD.DQ ) O I · 0 Dấu “=” xảy ra MD= DQ ∆OMQ vuông cân tại O ( d ) OMD 45 OM OD R A H B M 2.R sin OMD sin 450 C (Vì ∆ ODM vuông nên OD= OM.sinOMD ) P Vậy MQmin = 2R OM = 2 R (2) 2 Từ (3) và (4) suy ra khi M nằm trên (d) cách O một khoảng 2 R thì S∆ MPQ nhỏ nhất là R.2R=2R ( d.v.d.t) Bài 5: (1 đ) : A 7 13 7 13 2 .Ta có: 2 2 2.A 14 2 13 14 2 13 2 13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 0 A 0