Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin) - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin) - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình x4 3x3 mx2 9x 9 0 ( m là tham số). a) Giải phương trình khi m 2. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương. Câu 2 (3,0 điểm). a) Giải phương trình 3x2 4x 4x 3 4x 3 0. b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x2 y2 x y4 2y2 . Câu 3 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a b c 3. Chứng minh rằng 4 a2 b2 c2 a3 b3 c3 9. Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O với AB AC . Gọi M là trung điểm BC , AM cắt O tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B. a) Chứng minh rằng hai tam giác BDF,CDE đồng dạng và ba điểm E,M , F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng OA  EF. c) Phân giác của góc B· AC cắt EF tại điểm N . Phân giác của các góc C· EN và B· FN lần lượt cắt CN, BN tại P và Q . Chứng minh rằng PQ song song với BC. Câu 5 (1,0 điểm). Tập hợp A 1;2;3; ;3n 1;3n ( n là số nguyên dương) được gọi là tập hợp cân đối nếu có thể chia A thành n tập hợp con A1, A2 , , An và thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Ai i 1,2, ,n gồm ba số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn lại. ii) Các tập hợp A1, A2 , , An đôi một không có phần tử chung. a) Chứng minh rằng tập A 1;2;3; ;92;93 không là tập hợp cân đối. b) Chứng minh rằng tập A 1;2;3; ;830;831 là tập hợp cân đối. —— Hết—— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
2. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016-2017 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN CHUYÊN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) ————————— A. LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm, bài học sinh có thể làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 a Với m 2 , phương trình đã cho trở thành: x4 3x3 2x2 9x 9 0 Ta thấy ngay x 0 , chia hai vế của phương trình cho x2 ta được: 0,25 2 9 3 x 2 3 x 2 0. x x 3 Đặt t x , ta được phương trình: t 2 3t 4 0 t 1;t 4. 0,25 x 3 Với t 1 thì x 1 x2 x 3 0 (vô nghiệm). 0,25 x 3 Với t 4 thì x 4 x2 4x 3 0 x 1; x 3. x 0,25 Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1; x 3. b Trong trường hợp tổng quát ta có phương trình: t 2 3t 6 m 0 (1). 3 Ta có t x x2 tx 3 0 (2). 0,25 x Từ đó suy ra điều kiện để (2) có nghiệm dương là t 2 3. Vậy PT đã cho có ít nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi (1) có nghiệm t 2 3. 0,25 33 3 4m 33 Xét PT (1) có 4m 33 0 m . Khi đó t . 0,25 4 1,2 2 3 4m 33 Do đó (1) có nghiệm t 2 3 khi: 2 3 m 6 1 3 . 2 0,25 Vậy giá trị cần tìm của m là m 6 1 3 . 2 3,0 a 3 ĐKXĐ : x . 0,25 4 4x 3 x Phương trình đã cho tương đương: x 4x 3 3x 4x 3 0 0,5 4x 3 3x x 0 4x 3 x x 1; x 3. 2 0,5 4x 3 x x 0 x 0 4x 3 3x (vô nghiệm). 2 2 0,5 4x 3 9x 9x 4x 3 0 Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm là x 1; x 3. 0,25
3. b Ta có x2 y2 x y4 2y2 x2 y2.x y4 y2 2 0 (1) 0,25 Coi (1) là PT bậc hai ẩn x, ta có y4 4y2 9 y2 4y2 9. (1) có nghiệm nguyên nên 4y2 9 là số chính phương, đặt 4y2 9 k 2 (k ¥ ). 0,25 Khi đó k 2y k 2y 9. Xét các trường hợp và chú ý k ¥ ta được các bộ k, y 5;2 ; 5; 2 ; 3;0 . 0,25 Với y 2 ta được: x2 4x 96 0 x 12; x 8. Với y 0 ta được: x 0. 0,25 Vậy các nghiệm cần tìm là x, y 0;0 ; 12;2 ; 12; 2 ; 8;2 ; 8; 2 . 3 1,0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 4 a b c a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 27 0,25 4 a b c a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 a b c 3 0,25 a3 b3 c3 4 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 a b c 3 (1) Ta có đẳng thức a b c 3 a3 b3 c3 3 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 6abc . 0,25 Do đó (1) tương đương với a2b b2c c2a a2c b2a c2b 6abc. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a2b b2c c2a a2c b2a c2b a2 b c b2 c a c2 a b 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab 2 a2 bc b2 ca c2 ab 6abc. 0,25 Vậy BĐT (1) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. (Chú ý: Học sinh được sử dụng BĐT AM-GM với 6 số hoặc BĐT Schur’s để chứng minh). 4 A A x O E O E B 3,0 C M M B C Q P N F D D F a Do các tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên D· EC D· MC D· FB (1) 0,25 Tứ giác ABDC nội tiếp nên D· CE D· CA D· BF (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra BDF : CDE (g g) . 0,25 Từ BDF : CDE E· DC B· DF. Mà E· MC E· DC và B· MF B· DF . 0,5 Suy ra E· MC B· MF . Vậy E, M , F thẳng hàng. 0,25 b Từ hai tứ giác MECD, MBFD nội tiếp nên AB.AF AM.AD AE.AC , suy ra tứ giác 0,25 BECF nội tiếp. Do đó ·AFE ·ACB. Vẽ tiếp tuyến Ax của O thì ·ACB B· Ax . Do đó B· Ax ·AFE , suy ra Ax || EF . 0,25 Vậy OA  EF.
4. c 2 SBDF BF Ta có BDF : CDE nên 2 . 0,25 SCDE CE 2 MB SDAB SDAB SBDF SCDE AB BF CE AB.BF Ta có 1 . . . 2 . . 0,25 MC SDAC SBDF SCDE SDAC BF CE AC CE.AC BF AC AF NF EN FN Từ đó (3). 0,25 CE AB AE NE EC FB PN EN QN FN Theo tính chất phân giác ta có và (4). PC EC QB FB 0,25 PN QN Từ (3) và (4) suy ra . Do đó PQ song song với BC. PC QB 5 1,0 a Giả sử A 1;2;3; ;93 là tập hợp cân đối , khi đó mỗi tập Ai i 1,31 có dạng xi ; yi ;xi yi, như vậy tổng ba phần tử trong Ai là số chẵn. Do đó tổng các phần tử của 0,25 tập A là số chẵn. 93.94 Mặt khác tổng các phần tử trong A bằng: 1 2 3 93 93.47 (là số lẻ). Mâu 2 0,25 thuẫn này chỉ ra A là tập không cân đối. b Nhận xét: Nếu tập Sn 1;2;3; ;n , với n chia hết cho 3 là tập hợp cân đối thì tập S4n 1;2;3; ;4n và S4n 3 1;2;3; ;4n 3 cũng là tập hợp cân đối. Chứng minh. Từ tập S4n ta chọn ra các tập con ba phần tử sau: 1;2n n;2n n 1; 3;2n n 1;2n n 2; 5;2n n 2;2n n 3; ; 2n 1;2n 1;4n. Rõ ràng các tập con này đều thỏa mãn có một phần tử bằng tổng hai phần tử còn lại. 0,25 Còn lại các số sau trong tập S4n là 2,4,6, ,2n . Tuy nhiên vì tập Sn cân đối nên tập 2;4;6; ;2n cũng cân đối . Vậy S4n là tập cân đối. Tương tự từ tập S4n 3 ta chọn ra các tập con ba phần tử sau: 1;2n n 2;2n n 3 ; 3;2n n 1;2n n 4 ; ; 2n 1;2n 2;4n 3 . Và còn lại các số là 2,4,6, ,2n , suy ra S4n 3 là tập cân đối. Trở lại bài toán. Ta có 831 4.207 3 207 4.51 3 51 4.12 3 12 4.3 0,25 Chú ý là tập 1;2;3 là cân đối nên theo nhận xét trên ta xây dựng được các tập hợp cân đối theo quy trình sau: 1;2;3 1;2; ;12 1;2; ;51 1;2; ;207 1;2; ;831. Do đó tập A 1;2;3; ;831 là tập hợp cân đối (đpcm). Hết