Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở GD&ĐT Hà Nội (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở GD&ĐT Hà Nội (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 25/6/2009 Thời gian làm bài 150 phút (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin) Bài I (3 điểm) (n - 8)2 - 48 1) Tìm các số nguyên dương n để A= có giá trị là số nguyên dương. n + 5 2) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn đẳng thứcx2+y(y2+y-3x)=0 Bài II (2 điểm) Giải hệ phương trình (x, y, z là ẩn) Bài III. (3 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O). Gọi BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC. 1/ Chứng minh AD.AC=AE.AB 2/ Tia AO cắt BC tại A1và cắt cung nhỏ BC tại A2. Tia BO cắt AC tại B1và cắt cung nhỏ AC tại B2. Tia CO cắt BA tại C1và cắt cung nhỏ AB tại C2. A1A2 B1B2 C1C2 Chứng minh: + + =1 AA1 BB1 CC1 3/ Từ A vẽ tia Ax vuông góc với DE. Cho cạnh BC cố định , đỉnh A di động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn. Chứng minh tia Ax luôn đi qua một điểm cố định. Bài IV. (1 điểm) Cho đa thức P(x)= x4+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d là các hằng số). Biết rằng P(1)=10, P(12) + P( - 8) P(2)=20, P(3)=30. Tính giá trị của biểu thức + 25 10 Bài V (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm bên ngoài đường tròn (O) sao cho ABC có ba góc nhọn thì chu vi của đường tròn ngoại tiệp ABC không lớn hơn chu vi (O) . Hết Họ và tên thí sinh : . Số báo danh: Chữ kí giám thị số 1 . Chữ kí giám thị số 2 . .
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 3.0 1 Tìm số nguyên dương n (1.5 điểm) 121 *(n-8)2 -48 = n2 -16n+16 nên A=n-21+ 0.50 n + 5 *121=112 và n+5≥6 ; n+5 Z 0.25 *n+5=11 được n=6 và A=-4 0.25 *n+5=121 được n=116 và A=96 0.25 I *KL n=116 0.25 2 Tìm các số nguyên dương x, y (1.5 điểm) *x2+y(y2+ y-3x)=0 x2-3xy+y2+y3=0 (1) 0.25 *Coi (1) là pt bậc 2 với ẩn x 0.25 *có =y2(5-4y) 0.25 *Nếu y≥2 thì <0 phương trình (1) vô nghiệm 0.25 2 *Với y=1 phương trình (1) trở thành x -3x+2=0 x1=1; x2=2 0.25 *KL: x=1, y=1 và x=2, t=1 0.25 Giải hệ phương trình 2.0 *Nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0 thì hai số còn lại bằng 0 0.25 Ta thấy x=y=z=0 là một nghiệm của hệ *Xét trường hợp cả ba số x, y, z khác 0 0.75 hệ đã cho II *Cộng vế với vế của 3 PT ta được =0 0.25 1 1 1 ( -1)2 +( -1)2 +( -1)2 =0 (thỏa mãn hệ đã cho) 0.50 x y z *KL:Hệ đã cho có 2 nghiệm x=y=z=0 và x=y=z=1 .025 3.0 1 Chứng minhAD.AC=AE.AB(1 điểm) A Chứng minh được tam giác ABD đồng dang với tam giác ACE R III 0.50 L D E H O J B A1 C Q A2
3. Chứng minh được AD.AC=AE.AB 0.50 2 Chứng minh (1 điểm) *Gọi H là trực tâm của ABC A1A2 JQ 0.25 tia AH cắt BC tại J và cắt cung BC tại Q. CM được: = A1A2 JA JH JQ S BHC *CM được = = JA JA S BAC B1B2 S AHC C1C2 S AHB *Tương tự chứng minh được = , = B1B S BAC C1C S BAC * ABC nhọn nên điểm H nằm trong tam giác. Suy ra SBHC+SBHA+SAHC=SBAC A1A2 B1B2 C1C2 SBHC + SBHA + SCHA SBAC Từ đó + + = = =1 AA1 BB1 CC1 SABC SABC 3. Chứng minh tia Ax (1 điểm) *tia BD cắt cungAC tại R, tia CE cắt cung AB tại L Chứng minh được DE//RL suy ra LRAx * cung AL=cungAR chứng minh Ax di qua tâm O khi A di động t Tính giá trị của biểu thức (1 điểm) *Đặt Q(x)=P(x)-10x *Có Q(1)=Q(2)=Q(3)=0 IV *Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r)+10x P(12) + P( - 8) *A= + 25 = 2009 10 Chứng minh rằng (1 điểm) *Gọi đường tròn ngoại tiếp ABC là (I), I nằm trong ABC Nếu A, B, C nằm trên (O) thì (I) và (O) trùng nhau. *Nếu (O) đựng (I) hoặc (O) và(I) tiếp xúc trong với nhau thì đường kính của (I) V nằm trong (O) suy ra chu vi của (I) nhỏ hơn chu vi của (O). *Nếu (O) và (I) cắt nhau tại M, N. Vì ABC có ba góc nhọn nên số đo cung nhỏ MN 1800, ắt tồn tại đường kính của (I) nằm trong (O). Vậy chu vi của (I) nhỏ hơn chu vi của (O) Thí sinh phải lập luận đấy đủ mới có điểm tối đa, điểm làm tròn đến 0.25