Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN ĐÀO TẠO Năm học 2010- 2011 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ Môn thi: TOÁN MINH (Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề) Câu 1: (4 điểm) 1 + y = 1 x +1 1) Giải hệ phương trình 2 + 5y = 3 x +1 2 2) Giải phương trình : 2x2 - x + 2x2 - x -12 = 0 Câu 2: ( 3 điểm) Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 thỏa x1 = 2 x2 Câu 3: (2 điểm ) 7 + 5 + 7 - 5 Thu gọn biểu thức: A= - 3 - 2 2 7 + 2 11 Câu 4: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng : a) A· BP = A· MB b)MA.MP =BA.BM Câu 5 : ( 3 điểm ) a) Cho phương trình 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng m 2 + n 2 là hợp số b) Cho hai số dương a,b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Tính P= a 2010 + b2010 Câu 6 : ( 2 điểm ) Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất Câu 7: ( 2 điểm) 1 2 3 Cho a , b là các số dương thỏa a 2 + 2b2 3c2 .Chứng minh + a b c
2. ĐÁP ÁN Câu Hướng dẫn chấm Điểm Câu:1: ( 4 điểm 1 + y = 1 Câu 1 x +1 1) Giải hệ phương trình 2 + 5y = 3 x +1 1 2 1 + y = 1 2y = 2 3y = 1 x = x +1 x +1 2 0,5 2 2 2 + 5y = 3 1 x4 đ + 5y = 3 + 5y = 3 x +1 y = x +1 x +1 3 2 2) Giải phương trình : 2x2 - x + 2x2 - x -12 = 0 Đặt t 2x 2 x , pt trở thành: t2 + t - 12 = 0 t=3 hay t=-4 3 t =3 => 2x 2 x 3 x 1 hay x 0,5 đ 2 ( 4 đ) 0,5 đ t= -4 => 2x 2 x 4 ( vô nghiệm) 0,5 đ Vậy pt có hai nghiệm là x =- 1 , x =3/2 0,5 đ Câu 2 : (3 điểm ) Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) (*) Câu 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 thỏa x1 = 2 x2 2 ’= 2m 1 4m2 4m 3 4 0 , với mọi 1 0,5 đ Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m x1 =2m-1 ; x2 =2m+3 0.5 đ x1 = 2 x2 2m 1 2 2m 3 7 m 0,5 đ 2m 1 2 2m 3 2 (3 đ) 2m 1 2 2m 3 5 m 1,5 đ 6 Câu 3 Câu 3 : ( 2 điểm) ( 2 đ) 7 + 5 + 7 - 5 Thu gọn biểu thức: A= - 3 - 2 2 7 + 2 11
3. Xét M = 7 + 5 + 7 - 5 7 + 2 11 14 2 44 Ta có M > 0 và M 2 2 , suy ra M = 2 7 2 11 1 đ A= 2 -( 2 -1)=1 1 đ Câu 4 : ( 4 điểm) Câu 4 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng : ( 4 đ) a) A· BP = A· MB b)MA.MP =BA.BM A x P = = O x M B C 1 1 1 a) ·AMB ( s đ »AB s đ P»C ) = ( s đ »AC s đ P»C )= s đ »AP = ·ABP 2 đ 2 2 2 b) P»A P»C C· AP ·ABP ·AMB CM AC AB 1 đ MAC MBP (g-g) MA MC MA.MP MB.MC MB.AB MB MP 1 đ Câu 5: ( 3 điểm) a)Cho phương trình 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 ( x là ẩn số và m, n là các số Câu 5 nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng m 2 + n 2 là hợp số m Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình x x , x .x n 4 0,5 đ 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 đ m + n = 2x1 2x2 x1 x2 4 4x1 4x2 x1 x2 x1 16
4. 2 2 ( 3 đ) = x1 4 . x2 4 2 2 2 2 x1 4, x2 4 là các số nguyên lớn hơn 1 nên m + n là hợp số 0,5 đ b)Cho hai số dương a,b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Tính P= a 2010 + b2010 Ta có 0 a100 + b100 a101 b 101 a101 b 101 a100 + b100 a100 1 a b100 1 b a101 1 a b101 1 b a=b=1 1 đ P= a 2010 + b2010 =2 0,5 đ Câu 6 Câu 6: ( 2 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất ( 2 đ) Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D, với C là trung điểm của OA.Gọi E là trung điểm của OC *Trường hợp M không trùng với C vá D OM 1 OE Hai tam giác OEM và OMA đồng dạng ( do M· OE ·AOM, ) OA 2 OM ME OM 1 MA 2.EM AM OA 2 1 đ * Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM * Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM Vậy ta luôn có MA=2.EM 0,5 đ MA+2.MB=2(EM+MB) 2.EB = hằng số 0,5 đ Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O) Vậy MA +2.MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn BE với đường
5. tròn (O) Câu 7 Câu 7 : ( 2 điểm) 1 2 3 Cho a , b là các số dương thỏa a 2 + 2b2 3 c2 .Chứng minh + a b c 1 2 9 Ta có: 1 a 2b b 2a 9ab ( 2 đ) a b a 2b 2a2 4ab 2b2 0 2 a b 0 ( đúng) 0,5 đ 2 a+2b 3 a2 2b2 2 a 2b 3 a2 2b2 2 2 2 2a 4ab 2b 0 2 a b 0 ( đúng) 0,5 đ Từ (1) và (2) suy ra 1 2 9 9 3 ( do a2 2b2 3c2 ) a b a 2b 3 a2 2b2 c 1 đ