Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2016-2017 - Đại học Sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2016-2017 - Đại học Sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2016 Môn thi: TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh thi vào Trường Chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút 1 a 1 a 1 1 Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức P 1 với 0 < a < 1. Chứng minh 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a a a rằng P = –1 Câu 2 (2,5 điểm). Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1 b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ của 2 2 A, B. Tìm m sao cho | y1 y2 | 3 5 3 Câu 3 (1,5 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 4 1 1 3 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên quãng đường AB sau bằng vận tốc trên quãng đường AB 4 2 4 3 đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên quãng đường AB đầu tiên 4 lúc đi là 10 km/h . Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A? Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB DP.DA AB c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang. Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng 5a 4 5b 4 5c 4 7 ––––––––Hết–––––––
2. ĐÁP ÁN Câu 1 Với 0 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x1 x2 2m 2 2 2 2 Áp dụng Viét ta có: | x1 x2 | (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 4m 4 2 m 1 x1x2 1 y1 2mx1 1 2 2 2 2 Khi đó ta có | y1 y2 | | (2mx1 1) (2mx2 1) | y2 2mx2 1 2 2 | y1 y2 | | (2mx1 1 2mx2 1)(2mx1 1 2mx2 1) | | 4m(x1 x2 )[m(x1 x2 ) 1]| 2 2 2 2 | 4m(2m 1)(x1 x2 ) | 4 m(2m 1) | x1 x2 | 4 | m | (2m 1)2 m 1 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 Ta có | y1 y2 | 3 5 64m (2m 1) (m 1) 45 64(4m 4m 1)(m m ) 45 5 Đặt m4 m2 t 0 có phương trình 64t(4t 1) 45 256t 2 64t 45 0 t (vì t ≥ 0) 16
3. 5 1 Suy ra m4 m2 16m4 16m2 5 0 m 16 2 1 Vậy m 2 Câu 3 3 Gọi vận tốc của người đi xe máy trên quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0) 4 1 Vận tốc của người đi xe máy trên quãng đường AB sau là 0,5x (km/h) 4 Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h) 90 30 120 1 Tổng thời gian của chuyến đi là 8,5 x 0,5x x 10 2 90 60 120 150 120 8 8 75(x 10) 60x 4x(x 10) x x x 10 x x 10 4x2 95x 750 0 x 30 (do x > 0) Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h) Câu 4 a) VìCMA DMB 60o CMB DMA 120o. Xét ∆ CMB và ∆ AMD có CM AM MCB MAD CMB DMA CMB AMD(c.g.c) MBC MDA MB MD Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên CP CM CPM 180o CAM 120o CMB CPM : CMB(g.g) CM CB CP.CB CM 2 CP.CB CM. Tương tự DP.DA DM Vậy CP.CB DP.DA CM DM AM BM AB c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều ⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD
4. Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD CP PM CP PE Ta lại có CPM = DPM = 120o CPM : MPD(g.g) MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang. Câu 5 2 a(1 a) 0 a a 2 Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0 a,b,c 1 b(1 b) 0 b b c(1 c) 0 2 c c Suy ra 5a 4 a2 4a 4 (a 2)2 a 2 Tương tự 5b 4 b 2; 5c 4 c 2 Do đó 5a 4 5b 4 5c 4 (a b c) 6 7 (đpcm)