Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Nghệ An (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Nghệ An (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2012- 2013 Đề thi chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình: ( x 1 1)(5 x) 2x. x2 2xy x 2y 3 0 b) Giải hệ phương trình: 2 2 y x 2xy 2x 2 0. Câu 2 (3,0 điểm). Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 2x 1 y2. Câu 3 (2,0 điểm). 1 1 1 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1. Chứng minh rằng: x y z x yz y zx z xy xyz x y z. Câu 4 (6,0 điểm). Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và D· AB 600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai N. a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng. b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC. Câu 5 (2,0 điểm). Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 1: Chữ ký của Giám thị 2:
2. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2012- 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có 3 trang) Câu 1 7,0 điểm ĐK : x 1 0 x 1. 0,25 Với x 0 không là nghiệm của phương trình 0,5 Với x 0, nhân 2 vế với x 1 1 0 ta được 0,5 x 5 x 2x x 1 1 a) 2 x 1 7 x 0,5 7 x 0 0,5 2 4 x 1 7 x x 7 0,5 2 x 18x 45 0 4,0 điểm x 7 x 3 0,5 x 15 x 3 (thoả mãn các điều kiện). 0,5 Vậy phương trình có nghiệm x 3. 0,25 2 2 x 2xy x 2y 3 0 (1) 2x 4xy 2x 4y 6 0 0,5 2 2 2 2 y x 2xy 2x 2 0 (2) y x 2xy 2x 2 0 b) x2 y2 2xy 4x 4y 4 0 0,5 x y 2 2 0 0,5 y x 2 . Thay vào pt (1) ta được 0,5 5 21 x2 5x 1 0 x 0,5 2 3,0 điểm Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là 0,5 5 21 1 21 5 21 1 21 ; , ; . 2 2 2 2
3. Câu 2 3,0 điểm 2x 1 y2 2x y2 1 2x y 1 y 1 . 0,5 Đặt y 1 2m , y 1 2n (m,n ¥ ; m n). 0,5 Khi đó 2m 2n y 1 y 1 2 0,5 2n 2m n 1 2 0,5 n 2 2 n 1; m 2 ; thoả mãn đk m,n ¥ ;m n 0,5 m n 2 1 1 Vậy x 3; y 3. 0,5 Câu 3 2,0 điểm Bất đẳng thức đã cho tương đương với a bc b ca c ab 1 ab bc ca, 0,5 1 1 1 với a , b , c , a b c 1. x y z Ta có: a bc a(a b c) bc 0,75 a2 a(b c) bc a2 2a bc bc a bc. Tương tự: b ca b ca; c ab c ab. 0,25 Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x y z 3. 0,5 Câu 4 6,0 điểm E D F H A B O C M a) N 4,0 điểm Ta có :A· CH A· BD (so le trong) (1) 0,5 mà A· ND A· BD (góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2) 0,5 từ (1) và (2) suy ra A· ND A· CH hay A· NF A· CF 0,5 suy ra tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn 0,5 AFCN nội tiếp đường tròn C· NF C· AF hay C· ND B· AE (3) 0,5 Mặt khác B· AE D· AE D· NE (4) 0,5
4. từ (3) và (4) suy ra C· ND E· ND 0,5 N, C, E thẳng hàng 0,5 Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M 0,25 Ta có D· AB A· CM (so le trong) 0,25 b) Mà D· AB D· NB (góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,25 A· CM D· NB tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn 0,25 C· BM E· ND; C· MB E· NB (vì N, C, E thẳng hàng) 0,25 2,0 điểm mặt khác E· ND E· NB C· BM C· MB 0,25 CB = CM . lại có CB = AD (gt) AD = CM 0,25 AD = CM, AD//CM suy ra ADCM là hình bình hành đpcm 0,25 Câu 5 2,0 điểm Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d ¥ * ). Giả sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Không mất tính 0,5 tổng quát, giả sử a > b > c > d. (*) Do tứ giác lồi nên a b > c n > m > 3 n 5, m 4 0,25 Cộng (1), (2), (3) được 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc 3a +4b + 5c 0,25 (b – d) + 2(c – d) 0 , mâu thuẫn (*) Tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau. (Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)