Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT LẠNG SƠN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu Câu 1 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): y = - x2. a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2); b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x 1; y1), B(x2; y2). 2 2 Tìm m để (x1 – x2) + (y1 – y2) = 25. Câu 2 (2 điểm) 3x 2y 2 x 1 y 1 a. Giải hệ phương trình ; 2x 3y 10 x 1 y 1 b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y x 2 . Câu 3 (2 điểm) a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất. 3x 4 b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 1 Câu 4 (3 điểm) Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E. a. Chứng minh tam giác EAI cân; b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID; c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh trong các số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013.
2. ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung trình bày Điểm Câu 1 Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1 0,5 a Vậy: m = 1 0,5 2 điểm Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x – b m + 1 = 0 0,25 có hai nghiệm phân biệt ' m 0 Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25 Có: y = 2x – m + 1, y = 2x – m + 1 => y – y = 2(x – x ) 1 1 2 2 1 2 1 2 0,25 2 2 2 2 Nên: 25 = (x1 – x2) + (y1 – y2) = 5(x1 – x2) => (x1 – x2) = 5 2 Hay: (x1 + x2) - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25 Câu x y Đặt u ; v 0,25 2 a x 1 y 1 3u 2v 2 9u 6v 6 u 2 2 Khi đó có hệ: 0,25 điểm 2u 3v 10 4u 6v 20 v 2 x y Từ: 2 x 2; 2 y 2 0,25 x 1 y 1 Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25 Ta có: x – y + 1 = 2 x y x 2 x y 1 2 x y x 2 0 . 0,25 b 2 Hay: x y 1 x 2 0. 0,25 2 Suy ra: x y 1 x 2 0 x y 1 x 2 0 . 0,25 Vì vậy có: x = 2; y = 1. 0,25 Câu A Do: A· DM A· EM D· AE 900 nên ADME 3 a 0,25 D là hình chữ nhật E 0,25 2 Nên : DE = AM điểm DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất B M C 0,25 AM  BC Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25 3x 4 A = A(x2 1) 3x 4 Ax2 3x A 4 0 , (*) có nghiệm x 0,25 b x2 1 Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 0,25 1 9 Nếu A 0 có : 9 4A(A 4) 4(A 2)2 25 0 A 0,25 2 2
3. 1 b 9 1 Vậy : min A khi x 3; max A khi x 2 2a 2 3 0,25 a F Vẽ hình để chứng minh a 0,25 Câu C 4 D I Do AD, CE là các đường phân giác 3 nên : 0,25 A B điểm O D»C D»B, E»B E»A Do đó: D»C E»A D»B E»B 0,25 Suy ra: A· IE I·AE E 0,25 Vậy: tam giác EAI cân tại E Ta có: A· IE C· ID (đối đỉnh) 0,25 b E· AI D· CI (cùng chắn cung DE) 0,25 Do đó : ICD : IAE . 0,25 IC ID Suy ra: IC.IE IA.ID 0,25 IA IE AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao 0,25 c nên ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0 Do: D· IB I·BA I·AB 450 nên BID vuông cân 0,25 suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có: BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 - 0,25 bx - a2 = 0 2 2 2 2 Có: x = b b 4a (loại), x = b b 4a . Vậy AB = 2 2 0,25 b b2 4a2 2 Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014 2014 = a n, có n bộ Câu 2014. n N* 0,25 5 Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai  2013 1 0,25 điểm hay: 20142014 2014 20142014 2014 20142014 20140000 00002013 j sô 2014 i sô 2014 j í sô 2014 4i sô 0 Số có dạng 20142014 2014 . 104i  2013 0,25 Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n N* Vậy: có số dạng 20142014 2014 chia hết cho 2013 0,25