Đề thi vòng kiến thức ngày hội học sinh cấp Trung học cơ sở môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Quận I (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi vòng kiến thức ngày hội học sinh cấp Trung học cơ sở môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Quận I (Có đáp án)

1. ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN 1 VÒNG THI KIẾN THỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÀY HỘI HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Năm học : 2016 – 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2017 (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1: (6,5 điểm) Giải các phương trình sau: x1 x3x7 x 5 x 95 a) x 99 6 . 99 97 93 95 5 b) (4x 5)(2x2 3)(x 1) 9 . 523 2 c) 1 . x8 x2 5x 24 x 3 Câu 2: (5,0 điểm) y2y24y 4 8y8 a) Giả sử x y thỏa mãn điều kiện: 4. x y x2 y2x4 y4x8 y8 Chứng minh rằng: 5y = 4x. b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a – b = a3 + b3. Chứng minh rằng: a2 + b2 < 1. c) Cho a, b, c, d thỏa mãn a3 + b3 = 2(c3 – 8d3). Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 3. Câu 3: (1,0 điểm) Khối lớp 8 của một trường THCS có bốn lớp 81, 82, 83 và 84. Trung bình cộng số học sinh của bốn lớp là 39,5. Nếu chuyển 4 em từ lớp 81 sang lớp 82 thì số học sinh của hai lớp bằng nhau. Số học sinh 83 bằng trung bình cộng số học sinh hai lớp 81 và 82. Số học sinh 84 bằng trung bình cộng số học sinh hai lớp 82 và 83. Tìm số học sinh ban đầu của mỗi lớp. Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F. Đặt MD = x, ME = y, MF = z a) Chứng minh rằng x + y + z không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b) Xác định vị trí của điểm M để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: HED ~ HBC b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên tia đối của tia HA. Đường thẳng qua N vuông góc với MH cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh rằng: N là trung điểm của IK. HẾT
2. GIẢI TÓM TẮT Câu 1: x1 x3x7 x 5 x 95 a) x 99 6 99 9793 95 5 x1 x3 x7 x5 x 95 11111 1x991 1 1 1 10(x100) 1 0 9997 9395 5 1444424444399 97 93 95 5 0 x100 0x 100 b) (4x 5)(2x2 3)(x 1) 9 (16x2 40x 25)(2x2 5x 3) 9(16x 2 40x 25)(16x2 40x 24) 72(1) Đặt 16x2 40x 25 (4x 5)2 t 0 thì (1) trở thành: t(t 1) 72 tt720 2 t 9 t 9 t 8 0 x 2 • 16x2 40x 25 9 16x2 40x 16 02x 2 5x 2 0 1 x 2 523 2 c) 1 . x8 x2 5x 24 x 3 Câu 2: y2y2 4y4 8y8y 2y2 4y(x44 y 4 ) 8y8 a) Với x y , ta có 4 4 xy x2 y2x4 y4x8 y8 x y x2 y2(x4 y)(x44 y 4 ) y2y24y(x 44 y)4 y 2y2 4y4y 2y(x22 y2 ) 4y4 4 4 4 xy x2 y2(x4 y)(x 44 y)4xy x 2 y2x4 y4 x y (x2 y)(x22 y 2 ) y2y(x22 y)2 y2y2 y(xy)2y 2 y(xy) y 4 4 4 4 4 xy (x2 y)(x22 y) 2xy x 2 y2 (x y)(x y)(x y)(x y) x y y 4x4y 5y 4x . b) Với a, b > 0 và a – b = a3 + b3, ta có aba 3b3a3b3(a b)(a2 b 2 ab) (a b)(a2 b2 ab 1) 0 mà a – b = a3 + b3 > 0 nên a2 b2ab10 a2 b2 1 ab 1 Hoặc giả sử a2 b21màa b = a3 b3(a b)(a2 b) 2 a3 b3ab2 ab02 ab(b a) 0 ab(a b) 0 mà ab > 0 a b 0 (trái giả thiết a – b = a3 + b3 > 0) c) Với a, b, c, d ta có a3 + b3 = 2(c3 – 8d3) a3 + b3 + c3 + d3 = 3c3 – 15d3 chia hết cho 3 a3 + b3 + c3 + d3  0(mod 3). a  . . . (mod 3) 0 1 –1 a3  . . . (mod 3) 0 1 –1 Suy ra a  a3(mod 3). Tương tự b  b3(mod 3); c  c3(mod 3); d  d3(mod 3) nên a + b + c + d  a3 + b3 + c3 + d3  0(mod 3) hay a + b + c + d chia hết cho 3. Câu 3: Gọi số học sinh ban đầu của lớp 81, 82, 83 , 84 lần lượt là x1, x2, x3 , x4 x1+ x2 + x3 + x4 = 39,5.4 = 158 (học sinh)(1) x xx 8 x • Ta có x – 4 = x + 4 x = x + 8 • x 12 x 22 x 4 và 1 2 1 2 3232 2 x xx x 4 x 23 x 22 x 2 . Thế vào (1), tính được x = 36 ; x = 44 ; x = 40 ; x = 38 4242 2 2 1 3 4
3. Câu 4: a) Gọi cạnh tam giác đều ABC là a và chiều cao là h. Ta có : 111111 S S S S ax ay az ah a(x y z) ah x y z h BMCCMA AMB ABC 222222 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. A b)• x2 y22xy; y2 z22yz; z2 x 22zx 2(x2 y2z2 ) 2xy 2yz 2zx (x y z)2 h2 3(x2 y2z)x2 2 y2z2 2xy 2yz 2zx x 2 y2z2 33 F h a a E không đổi z y Dấu ‘’=’’ xảy ra x = y = z M là giao điểm 3 đường phân giác của M ABC(M là tâm của tam giác đều ABC) x Câu 5: Ba D C a) • Ta có: HEB ~ HDC(g.g) HED ~ HBC(c.g.c) A b)Vẽ đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB, AC lần lượt tại F, G FG // IK. • Vẽ CV // MH(V BD) mà FG  MH CV  FG, cho HG cắt CV tại T V HT  CV. D E • HCV có hai đường cao CD và HT cắt nhau tại G G là trực tâm T F VG  CH mà BF  CH BF // VG FBH GVH (so le trong) . H G • BVC có M là trung điểm của BCvà MH // CV H là trung điểm của M C B BV HB = HV. K • FHB = GHV(g.c.g) HF = HG. N I • HF // NI và HG // NK nên HF AH HG NI NK (hệ quả của định lý Ta-let) NI AN NK Có gì sai sót, kính mong Thầy Cô và các bạn thông cảm.