Tài liệu dạy thêm Hình học 9 - Chương 3 - Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học 9 - Chương 3 - Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

1. BÀI 1. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG I. Tóm tắt lý thuyết 1. Góc ở tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. Ví dụ ·AOB là góc ở tâm (Hình 1). Nếu 00 < a < 1800 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn. Nếu a = 1800 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn. Kí hiệu cung AB là »AB . 2. Số đo cung Số đo của cung »AB được kí hiệu là sđ »AB . Số đô của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Ví dụ: ·AOB = sđ »AB (góc ở tâm chắn »AB ) (Hình 1). Số đo của cung lớn bắng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn). Số đo của nửa đường tròn bằng 1800. Cung cả đường tròn có số đo 3600. 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: + Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. + Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 4. Định lí Nếu C làm một điểm nằm trên cung AB thì : Sđ »AB = sđ »AC + sđC»B II. Các dạng bài tập Phương pháp giải: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau: Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn). Số đo của nửa đường tròn bằng 1800. Cung cả đường tròn có số đo 3600. Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc. Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung. Bài 1: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết ·AMB 400 . a) Tính ·AMO và ·AOM . b) Tính số đo cung »AB nhỏ và »AB lớn. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. a)Chứng minh được OM là tia phân giác của góc ·AMB . Từ đó ta tìm được ·AMO 200 , ·AOM 700 b) sđ ¼AmB ·AOB 1400 sđ ¼AnB 2200 Bài 2: Trên cung nhỏ »AB của (O), cho hai điểm C và D sao cho cung »AB được chia thành ba cung bằng nhau ( »AC = C»D = D»B ). Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F. a) Hãy so sánh các đoạn thẳng AE và FB. b) Chứng minh các đường thẳng AB và CD song song. Hướng Dẫn: a) Chứng minh được OEA OFB AE FB b) Chứng minh được O· EF O· CD AB / /CD Bài 3: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). a) Tính ·AOM. b) Tính ·AOB và số đo cung »AB nhỏ. c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm giữa của cung nhỏ »AB . Hướng Dẫn: a) Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông AMO ta tính được ·AOM 600 b) Tính được ·AOB 1200 , sđ ¼ABC 1200 . Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. c) Ta có ·AOC B· OC »AC B»C Bài 4: Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM = 10 cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là các tiếp điểm). Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. Hướng Dẫn: Tương tự 2A Chứng minh được ·AOB 1200 III. Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA và OB nếu: a) ·AMB 700 b) MA = R c) MO = 2R Hướng dẫn Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ O B => M· AO M· BO = 90o a) Xét tứ giác MAOB có: ·AMB ·AOB M· AO M· BO 3600 ⇔ ·AOB = 360o - ( ·AMB M· AO M· BO = 360o - (70o+ 90o + 90o) = 110o Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 110o . b) Nếu MA = R Xét ΔMAO có: MA = AO = R và M· AO = 90o => Δ MAO vuông cân tại A => M· OA = 45o Vậy ·AOB 2M· OA = = 90o c) Nếu MO = 2R Xét ΔMAO vuông tại A có: MO = 2.AO => ∠AMO = 30o => ∠AOM = 60o Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120o Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua O. Trên dây AB lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Tia OM, ON cắt (O) lần lượt tại C và D. So sánh cung AC, CD, DB. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Xét ΔAOM và ΔBON có: OA = OB = R ∠OAM = ∠OBN (do ΔOAB cân tại O) AM = BN (gt) => ΔAOM = ΔBON (c – g - c) => ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng) => A»C B»D Gọi I là trung điểm của OB. Suy ra NI là đường trung bình của ΔOBM => NI // OM => ∠MON = ∠ONI (so le trong) (1) Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM C»D B»D Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dây AM của đường tròn (O) và dây BN của đường tròn (O’) sao cho AM // BN. Chứng minh A¼M B»N Hướng Dẫn: Vì AM // BN (gt) => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1) Mặt khác: OA = OB = O'A = O'B => Tứ giác OAO’B là hình thoi => ∠OAB = ∠ABO' (2) Từ (1) và (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO' Ta có: ΔMOA cân tại O và ΔNO'B cân tại O' có góc ở đáy bằng nhau => ∠MOA = ∠NO'B Do đó: ΔMOA = ΔNO'B (c.g.c) => AM = BN Mặt khác hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên => A¼M B»N Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B (R < R'). Kẻ đường kính BOC và BO’D. a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC và AD. Hướng Dẫn: a)Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ΔABC vuông tại A hay ∠BAC = 90o . Tương tự ta có: ∠BAD = 90o => ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180o => 3 điểm C, A, D thẳng hàng. b) Xét đường tròn (O) có: sđA»C 180o sđA»B Xét đường tròn (O’) có: sđA»D 180o sđA»B => sđA»C sđA»D Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho SđBC = 30o, điểm M thuộc cung AC nhỏ. Gọi D và E là các điểm đối xứng với M qua AB và OC. Chứng minh rằng: ΔDOE đều. Hướng Dẫn: Vì sđ B»C = 30o => ∠BOC = 30o Gọi I là giao điểm của MD và AB, J là giao điểm của ME và OC. Theo giả thiết: M và D đối xứng với nhau qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D cũng thuộc đường tròn (O). Tương tự E thuộc đường tròn (O). Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90o => ∠IMJ + ∠IOJ = 180o => ∠IMJ = 180o - ∠IOJ = ∠BOC = 30o Ta có ΔMOD và ΔMOE cân tại O nên: ∠MOD = 180o - 2∠DMO ∠MOE = 180o - 2∠EMO => ∠MOD + ∠MOE = 360o - 2(∠DMO + ∠EMO) ⇔ 360o - ∠DOE = 360o - ∠IMJ ⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60o Vậy ΔDOE đều. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. Bài 6: Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M với (O) cắt Ax tại C và cắt By tại D; các đường thẳng CO và OD cắt (O) lần lượt tại E và F. a) Tính sđ E»F . b) Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp . Hướng Dẫn: a)Vì CA và BM là hai tiếp tuyến với (O) nên OC là tia phân giác của ∠AOM . Tương tự ta có OD là tia phân giác của ∠BOM Mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù => OC ⊥ OD Vậy ta có ∠COD = 90o hay sđ E»F = 90o . b) Vì ΔCOD vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔCOD là trung điểm của CD. Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang có OI là đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB. Vậy I chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với AB tại O. Bài 7: Cho AB là dây cung của đường tròn (O), I là trung điểm của AB. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Gọi giao điểm OI và MI với (O) lần lượt C và N. So sánh M¼CN và A¼CB . Hướng dẫn Kẻ OH ⊥ MN Ta có: ΔOHI vuông tại H nên OH AB sđ A¼CB . Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ góc ở tâm AOC = 50° với C nằm trên (O). Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. a) Tính số đo cung nhỏ BE. b) Tính số đo cung CBE. Từ đó suy ra ba điểm C, O, E thẳng hàng. Hướng Dẫn: a) Tính được sđ B»C 500 . b) Chứng minh được sđ C¼BE 1800 C,O, E thẳng hàng (ĐPCM) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. Cách khác: sử dụng C¼DE 900 ĐPCM. Bài 9: Cho đường tròn (O; R). Gọi H là trung điểm của bán kính OB. Dây CD vuông góc với OB tại H. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn C»D . Hướng Dẫn: Chứng minh được BOC và BOD là tam giác đều nên suy ra được sđ C»D nhỏ = 1200 và sđ C»D lớn = 2400. Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm o, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB và AC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh các cung nhỏ B¼M và C»N có số đo bằng nhau. b) Tính M· ON , biết B· AC = 40°. Hướng Dẫn: a)Chứng minh được BOM CON (c.g.c), từ đó suy ra B¼M C»N b) Tính được M· ON 1000 Bài 11: Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB = R 2 . Tính số đo cung nhỏ và cung lớn »AB . Hướng Dẫn: Tính được sđ »AB nhỏ = ·AOB 900 . Suy ra đ »AB lớn = 2700. Bài 12: Cho (O; R) và dây cung MN = R 3 . Kẻ OK vuông góc với MN tại K. Hãy tính: a) Độ dài OK theo R. b) Số đó các góc M· OK và M· ON . c) Số đo cung nhỏ và cung lớn M¼N. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. Hướng Dẫn: R a) Tính được OK 2 b) Tính được M· OK 600 , M· ON 1200 c) HS tự làm. Bài 13: Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB R 2 . Tính số đo của hai cung AB. Hướng Dẫn: 900;2700 . 1 Bài 14: Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng số đo của 2 cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB. R2 3 Hướng Dẫn: S . 4 R 3 Bài 15: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và O; . Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. 2 Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đ/tròn lớn tại C. a) Chứng minh rằng »CA »CB . b) Tính số đo của hai cung AB. Hướng Dẫn: b) 600;3000 . Bài 16: Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM = 10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. Hướng Dẫn:1200 . Bài 17: Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD, DE và EC. Hướng Dẫn:»BD »DE »EC . Bài 18: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; R ) với R > R . Qua điểm M ở ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R ). Một tiếp tuyến cắt (O; R) tại A và B (A nằm giữa M và B); một tiếp tuyến cắt (O; R) tại C và D (C nằm giữa D và M). Chứng minh hai cung AB và CD bằng nhau. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8