Tài liệu dạy thêm Hình học 9 - Chương 3 - Bài 3: Góc nội tiếp

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học 9 - Chương 3 - Bài 3: Góc nội tiếp

1. BÀI 3. GÓC NỘI TIẾP I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp. ( B· AC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ B»C ) Lưu ý: Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn. ( B»C gọi là cung bị chắn). 2. Định lý Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 3. Hệ quả Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Minh họa: * Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. Nếu A·BD = C·BD Þ A¼D = C»D Þ AD = CD * Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. · · 1 ¼ Trên hình vẽ: sđABD = sđACD = sđAD . 2 ¼ » · · Trên hình vẽ: AD = CD Û sđAD = sđCD Û sđABD = sđCAD Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. II. Các dạng bài tập Dạng 1. Chứng minh hai góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Dùng Hệ quả trong phần Tóm tắt lý thuyết để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau. Bài 1: Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên (O). Qua điểm I kẻ hai dây cung AB và CD (A nằm giữa I và B, C nằm giữa I và D). a) So sánh các cặp góc ·ACI và ·ABD ; C· AI và C· DB . b) Chứng minh các tam giác IAC và IDB đồng dạng. c) Chứng minh IA.IB = IC.ID. Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh. b) IAC : IDB (g.g) c) Sử dụng kết quả câu b). Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB (H AB). Trên cùng nửa mặt phang bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm O 1, đường kính AH và tâm O2, đường kính BH. Đoạn MA và MB cắt hai nửa đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q. Chứng minh: a) MH = PQ; b) Các tam giác MPQ và MBA đồng dạng; c) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2). Hướng Dẫn: a) MPHQ là hình chữ nhật MH = PQ b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh được MP.MA MQ.MB MPQ : MBA · · · · c) PMH MBH PQH O2QB PQ là tiếp tuyến của (O2). Tương tự PQ cũng là tiếp tuyến. Bài 3: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC và gọi s là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Do sđ M»B = sđ M» A = sđ N»C N· AS ·ANS SA SN SM SC Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM. a) Tính ·ACM. b) Chứng minh B· AH O· CA . c) Gọi N là giao điểm AH với (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao? Hướng Dẫn: a) Ta có ·ACM 900 (góc nội tiếp) b) ta có ABH : AMC (g.g) B· AH O· AC,O· CA O· AC B· AH O· CA c) ·ANM 900 MNBC là hình thang BC / /MN sđ B»N = sđC¼M C· BN B· CM nên BCMN là hình thang cân. Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng. b) Gọi P là giao điểm của AK và BI. Chứng minh P là tâm đ/tròn nội tiếp tam giác MAS. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. a) Chú ý: M , A, B (O) và ·AMB 900 ĐPCM. b) Gợi ý: Chứng minh AK và BI lần lượt là phân giác trong góc A, B của tam giác MAB. Bài 2: Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. a) Tam giác ABE là tam giác gì? b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng minh OD  AK. Hướng Dẫn: a) Chứng minh được BAE cân tại B. b) Chứng minh được DO//BE (tính chất đường trung bình) Mà AK  BE (·AKB 900 ) AK  DO Bài 3: Cho đường tròn (O), đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi P là giao điểm của BM và AN. Chứng minh SP  AB. Hướng Dẫn: Chứng minh P là trực tâm tam giác SAB. Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đưòng tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. a) Tứ giác BFCH là hình gì? b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng. 1 c) Chứng minh OM = AH. 2 Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. a) Chứng minh được BFCH là hình bình hành. b) Sử dụng kết quả câu a), suy ra HF đi qua M. c) Chú ý: OM là đường trung bình của AHF ĐPCM. III. Bài tập tự luyện Bài 1: Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC về phía ngoài ta dựng hình vuông với tâm tại điểm O . Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc B·AC . Hướng Dẫn: A B C O N M Vì O là tâm của hình vuông nên B·OC = 900 . Lại có B·AC = 900 suy ra bốn điểm A,B,O,C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Đối với đường tròn này ta thấy B·AO = B·CO (cùng chắn B¼O ). Mà B·CO = 450 Þ B·AO = 450 . Do B·AC = 900 , nên C·AO = B·AC - B·AO = 450 . Vậy B·AO = C·AO , nghĩa là AO là tia phân giác của góc vuông B·AC (đpcm). Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH (H thuộc BC ). Chứng minh rằng B·AH = O·AC . Hướng Dẫn: A O H B C D E Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy A·CE = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Từ đó O·AC + A·EC = 900 (1). Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. BÀI 3. GÓC NỘI TIẾP I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp. ( B· AC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ B»C ) Lưu ý: Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn. ( B»C gọi là cung bị chắn). 2. Định lý Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 3. Hệ quả Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Minh họa: * Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. Nếu A·BD = C·BD Þ A¼D = C»D Þ AD = CD * Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. · · 1 ¼ Trên hình vẽ: sđABD = sđACD = sđAD . 2 ¼ » · · Trên hình vẽ: AD = CD Û sđAD = sđCD Û sđABD = sđCAD Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1