Tài liệu dạy thêm Hình học 9 - Chương 3 - Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học 9 - Chương 3 - Bài 7: Tứ giác nội tiếp

1. BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP I.Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. 2. Định lí Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. Chú ý: 1.Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn. 2.Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính thì có số đo bằng 900 3.Đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây 4.Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì: + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm. II. Các dạng bài tập Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 Minh họa: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Phương pháp 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn Minh họa: Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau Minh họa: Phương pháp 4: Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó Minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Cách 1: Phương pháp 2:Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OB’ = OB = OC = r (1) Xét BC’C có : B· C'C 900 (GT) Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn. Cách 2: Phương pháp 3:Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lạ dưới một góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp. Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'C 900 . CC’  AB (giả thiết) B· C'C 900 . B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B 'C nội tiếp đường tròn đường kính BC. Cách 3: Phương pháp 1 và phương pháp 4: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 và Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'A 900 . CC’  AB (giả thiết) C· C'A 900 . Xét AB B và AC C có ·AB B ·AC C 900 và B· AC chung. AB ' AB AB ' AC ' Vậy AB B : AC C (g-g) AC ' AC AB AC AB ' AC ' Xét AB C và ABC ta có và B· AC chung. Vậy AB C : ABC (c-g-c) AB AC ·AB 'C' A· BC . Tứ giác BC ' B 'C có góc ngoài tại đỉnh B ' bằng góc trong tại đỉnh B . Vậy tứ giác BC ' B 'C nội tiếp. (Phương pháp 2) Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác BC ' B 'C có C· ' BC C· ' B 'C 1800 nên tứ giác BC ' B 'C là tứ giác nội tiếp Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiêp. Hướng Dẫn: Xét tứ giác AMHN có: ·AMH ·ANH 900 900 1800 ĐPCM. Xét tứ giác BNMC có: B· NC B· MC 900 ĐPCM. Bài 3: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp. Hướng Dẫn: 1 Ta có: ·AED (sđ »AD + sđ M»B ) 2 1 sđ D¼M M· CD. D· EP P· CD 1800 2 PEDC nội tiếp. Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Ta có: M· IC C· HM 900 MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông) Dạng 2. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât của tứ giác nội tiếp. Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh: a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp; b) AH.AB = AD2; c) Tam giác ACE là tam giác cân. Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh b) ADB vuông tại D, có đường cao DH AD2 = AH.AB 1 c) E· AC E· DC sđ EC, E· AC K· HC 2 (Tứ giác AKCH nội tiếp) E· DC K· HC DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC) ĐPCM. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP I.Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. 2. Định lí Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. Chú ý: 1.Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn. 2.Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính thì có số đo bằng 900 3.Đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây 4.Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì: + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm. II. Các dạng bài tập Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 Minh họa: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1