Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 1: Định lý Ta-lét trong tam giác

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 1: Định lý Ta-lét trong tam giác

1. BÀI 1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC I. Tóm tắt lý thuyết 1. Đoạn thẳng tỉ lệ AB A'B' Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C 'D' nếu CD C 'D' AB CD (hoặc ). A'B' C 'D' 2. Định lý Ta – lét Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. A D E B C ABC : DE PBC GT D AB,E AC AD AE AB AC AD AE KL DB EC DB EC AB AC II. Các dạng bài tập Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ và các tính chất của tỉ lệ thức. Bài 1: Trên tia Ax lấy các điểm B, C, D theo thứ tự đó sao cho: AB 2cm,BC 4cm và CD 8cm . AB BC a) Tính các tỉ số và . BC CD b) Chứng minh BC2 AB.CD. Hướng Dẫn: AB 1 BC 1 a) Ta có và BC 2 CD 2 b) Ta có BC 2 AB.CD 16cm2 AB 3 BC 5 Bài 2: Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho và . BC 5 CD 6 AB a) Tính tỉ số . CD Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. b) Cho biết AD 28cm . Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CD. Hướng Dẫn: AB 1 a) Ta có CD 2 b) Ta tính được AB 6cm, BC 10cm và CD 12cm AD AE Bài 3:Cho tam giác ABC và các điểm D, E lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho AB AC . AD AE a) Chứng minh . BD EC b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm và AE 4cm . Tính AC. Hướng Dẫn: AD AE a) Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có: AB AC AD AE AB AD AC AE AD AF (ĐPCM) BD EC AD AE b) Ta có . Thay số ta tính được EC 2cm BD EC Từ đó tìm được AC 6cm Bài 4: Cho hình vẽ bên: A D E B C BD CE Biết AB AC AD AE a) Chứng minh AB AC b) Cho biết AD=2cm, BD=1cm và AC 4cm . Tính EC. Hướng Dẫn: 4 a) HS tự làm b) Tìm được EC cm 3 Dạng 2. Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước: Bước 1. Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét . Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Bước 2. Sử dụng độ dài đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tính. Bài 1: Cho tam giác ACE có AC 11cm. Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho BC 6cm . Lấy điểm D trên cạnh AE sao cho DB PEC . Giả sử AE ED 25,5cm . Hãy tính: DE a) Tỉ số ; AE b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD. Hướng Dẫn: DE BC DE 6 a) Theo định lý Ta-lét trong ACE , ta có: AE AC AE 11 DE AE 17 . b) Cách 1. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: AE 11 Từ đó tính được AE 16,5cm; DE 9cm và AD 7,5cm . Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau DE 6 Cách 3. Thay DE 25,5 AE vào AE 11 Bài 2: Cho tam giác ABC có AB 11cm. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AD 4cm. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho DE PBC . Giả sử EC AE 1,5cm . Hãy tính: AE a) Tỉ số ; EC b) Độ dài các đoạn thẳng AE,EC và AC. Hướng Dẫn: HS tự làm Đáp số: AE 2cm; EC 3,5cm và AC 5,5cm BD 3 Bài 3: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho , điểm E trên đoạn AD sao cho BC 4 AE 1 AK . Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số . AD 3 KC Hướng Dẫn: Kẻ DM / /BK M AC Áp dụng định lý Ta-lét trong CBK , ta có: KM BD KM 3 (1) KC BC KC 4 AK 1 Tương tự với ADM , ta có: (2) KM 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. AK 3 Từ (1) và (2), tìm được: KC 8 1 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG DC. Gọi E là giao 4 DE điểm của AG và BD. Tính tỉ số . DB Hướng Dẫn: DG ED 1 DE 1 Chú ý DC AB nên AB EB 4 DB 5 Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét. Bước 2: Vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và các kiến thức cần thiết khác để chứng minh được hệ thức đề bài yêu cầu. Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Một đường thẳng song song với AB cắt các ED BF cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh 1. AD BC Hướng Dẫn: ED FC ED BF FC BF Ta có: nên 1 AD BC AD BC BC BC Bài 2: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh OA.OD OB.OC. Hướng Dẫn: OA OB Vì AB//CD, áp dụng định lý Ta-lét, ta có: OC OD Từ đó suy ra ĐPCM Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK. Hướng Dẫn: Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: EF=AD (1) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Kẻ MG//AC (G AB), ta được G là trung điểm của AB. Áp dụng định lý Ta-lét trong CF AC ABC , ta có: (2) EF AB Tương tự với AGM và ABC , ta có: DK MG MG AC (3) AD AG BG AB Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC và H là trực tâm. Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự ở N và D. Chứng minh: a) NC ND . b) HI HK. Hướng Dẫn: a) Chứng minh được M là trực tâm HNC nên: MN  HC , từ đó suy ra MN / / AB hay MN / /DB . Theo tính chất đường trung bình ta có N là trung điểm của CD. HI HK b) Ta có IH / /DN và HK / /NC nên chứng minh được . Từ đó suy ra HI = HK. DN NC Bài tập tự luyện CA 3 Bài 1: Cho đoạn thẳng AB 10cm . Lấy điểm C thuộc đoạn AB sao cho CB 2 a) Tính độ dài CB DA 3 b) Lấy D thuộc tia đối cuả tia BA sao cho .Trong ba điểm A; B; D điểm nào nằm giữa DB 2 hai điểm còn lại? tính độ dài DB c) Tính dộ dài CD Hướng Dẫn: A B C D Hình 1 CA 3 CA CB 3 2 AB 5 a)Cách 1: (vì C nằm giữa A và B ) CB 2 CB 2 CB 2 10 5 CB 4(cm) CB 2 CA 3 10 x 3 Cách 2: Đăt CB x thì CA 10 x Ta có: nên 3x 20 2x x 4(cm) CB 2 CB 2 b) Nếu điểm D nằm giữa hai điểm còn lại thì trái với giả thiết D thuộc tia đối của tia BA Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. DA 3 Nếu điểm A nằm giữa hai điểm còn lại thì DA AB DB DA DB , trái với DB 2 Vậy B nằm giữa hai điểm A và D DA 3 DA DB 3 2 AB 1 Ta có: (vì B nằm giữa A và D ) DB 2 DB 2 DB 2 10 1 DB 20(cm) DB 2 c) B nằm giữa C và D CD CB BD 4 20 24(cm) Bài 2: Cho đoạn thẳng AB 5cm .Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho CA:CB 3: 4 . Tính độ dài AC . Hướng Dẫn: C A B x 3 Hình 62 Cách 1. Đặt AC x . Giải được x 15 . x 5 4 CA CB CB CA BA Cách 2. 5 nên CA 15cm 3 4 4 3 1 Bài 3: Cho đoạn thẳng AB 12cm . Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 1:3 , điểm D chia trong đoạn thẳng BA theo tỉ số 1:3 . a) Giải thích vì sao điểm C nằm giữa A và D b) Tính độ dàiCD Hướng Dẫn: A C D B Hình 63 a) Tính độ dài AC được 3 cm, Tính độ dài AD được 9cm . Trên tia AB ta có các điểm C và D mà AC AD nên C nằm giữa A và D . b) Theo câu a ta có AC CD AD 3 CD 9 CD 6cm Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự ở D và E. AE 3 a) Biết ,BC 28cm . Tính độ dài DE. EC 4 AD EC b) Biết Chứng minh rằng D, E thứ tự là trung điểm của AB, AC. DB AE Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. A D E B C AE 3 AE 3 AEHình 43 a) Từ suy ra tức là EC 4 AE EC 3 4 AC 7 Áp dụng định lí Talet trong ABC với DE//BC , ta có: DE AE DE 3 DE 12(cm) BC AC 28 7 b) Áp dụng định lí Talet trong ABC với DE//BC , ta có: AD AE AD EC AE EC mà (giả thiết) nên , do đó EC2 AE2 . DB EC DB AE EC AE Vậy EC AE . Suy ra DB AD Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB//CD(AB<CD) . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng: MA MB a) ND NC MA MB b) NC ND c) MA MB, NC ND Hướng Dẫn: K A M B O C D N Hình 5 a)Áp dụng định lí Talet vào các tam giác KDN, KNC với AB//CD MA KM MB KM MA MB Ta có: , , suy ra (1) ND KN NC KN ND NC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. b)Áp dụng định lí định lí Talet vào các tam giác ONC, OND với AB//CD , ta có: MA OM MB OM MA MB , , suy ra (2) NC ON ND ON NC ND c) Nhân từng vế (1) với (2) ta được: MA2 MB2 MA2 MB2 MA MB NC.ND NC.ND Do đó : NC ND AB CD 2 Bài 6: Cho AB 8cm . Trên tia đối của tia BA lấy các điểm C và D . Biết 2; .Tính độ CD BD 3 dài AD Hướng Dẫn: AD = 14 cm CA 2 Bài 7: Cho đoạn thẳng AB 42cm và điểm C thuộc đoạn thẳng đó sao cho . Tính độ dài CB 5 các đoạn CA, CB và khoảng cách từ C đến trung điểm O của AB. Hướng Dẫn: Tính được CA 12cm, CB 30cm, CO 9cm . Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ trên cạnh AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở N. Biết AM 11cm,MB 8cm,AC 38cm. Tính độ dài các đoạn AN, NC. Hướng Dẫn: Tương tự 2A. Tính được AN = 22cm, NC = 16cm. Bài 9: Cho x· Ay , trên tia Ax lấy hai điểm D và E, trên tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho FD PEG. Đường thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax ở H. Chứng minh AE2 AD.AH. Hướng Dẫn: Chứng minh được AE AD FA AH AE AG Từ đó suy ra ĐPCM Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD ở G. Chứng minh AH.CD AD.CG. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. Áp dụng định lý Ta-lét trong các ADB, ABC và BCD ta có: AH AE CF CG AD AB CB CD Từ đó AH.CD AD.CG  Bài 11: Cho tam giác ABC vuông cân có C 900 . Từ C kẻ 1 tia vuông góc với trung tuyến AM BD cắt AB ở D. Hãy tính tỉ số DA Hướng Dẫn: Kẻ CH  AB tại H vì tam giác ABC vuông cân tại C nên đường cao CH đồng thời là đường trung tuyến. Gọi G là giao điểm AH và AM AG Suy ra G là trong tâm tam giác ABC 2 GM CH  AD Trong tam giác ACD có  H là trực tâm tam giác ADC AG  CD  Suy ra DG  AC Ta lại có BC  AC nên BC//DG AG AD Hay DG//BM (định lí Talet) MG BD AG AD Mà 2 do đó 2 GM BD BD 1 Vậy DA 2 Bài 12: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt các cạnh AB, BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết DA+EC=16cm và chu vi tam giác ABC bằng 75cm. Hướng Dẫn: Vẽ DN // BC DNCE là hbh DE = NC. Và DB=2DA, DE = 18 cm. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. Bài 13: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA. NB a) Tính tỉ số . NC b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm. Tính MN. Hướng Dẫn: NB 1 a) Vẽ AQ // BC, cắt MN tại P ABNP, PNCQ là các hbh . NC 3 b) Vẽ PE // AD MPED là hbh MN = 11 cm. Bài 14: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B , C sao cho AB AC . Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC tại C . AB AC a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC và AC . b) Chứng minh B C // BC. Hướng Dẫn: a) AC = AC b) C trùng với C B C // BC. Bài 15: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Đường thẳng a song song với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH lần lượt tại B , C , H . AH B C a) Chứng minh . AH BC 1 b) Cho AH AH và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2 . Tính diện tích tam giác AB C . 3 Hướng Dẫn: 1 b) S S 7,5cm2 . AB C 9 ABC Bài 16: Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC. Hướng Dẫn: DN Vẽ BM  AC, DN  AC 0,75 . BM Bài 17: Cho tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M AB; F, N AC). a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF. b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2 . Hướng Dẫn: 1 a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) S S 90cm2 . MNFE 3 ABC Bài 18: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. IM IB IM IB OD a) Chứng minh: và . . OA OB IP ID OB IM IN b) Chứng minh: . IP IQ Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. Hướng Dẫn: Sử dụng định lí Ta-lét. Bài 19: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau. HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC. Chứng minh: AM = MN = NC. Bài 20: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD DM CN m mAB nCD ở M, cắt cạnh BC ở N. Biết rằng . Chứng minh rằng: MN . MA NB n m n Hướng Dẫn: m n Gọi E là giao điểm của MN với AC. Tính được EN AB,ME CD . m n m n Bài 21: Cho tứ giác ABCD có các góc B và D là góc vuông. Từ một điểm M trên đường chéo AC, MN MP vẽ MN  BC, MP  AD. Chứng minh: 1 . AB CD Hướng Dẫn: MN MP Tính riêng từng tỉ số ; , rồi cộng lại. AB CD Bài 22: Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC ở I và cắt cạnh BC ở N, cắt đường thẳng AB ở M. a) Chứng minh rằng tích AM.CN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D. b) Chứng minh hệ thức: ID2 IM.IN . Hướng Dẫn: AM AI AD IC ID IN a) b) DC IC CN IA IM IB Bài 23: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B , C . S AB AC Chứng minh: ABC . . SAB C AB AC Hướng Dẫn: AC CH Vẽ các đường cao CH và C H . AC C H Bài 24: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CD lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho 1 1 1 AD AB , BE BC , CF CA . Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng diện tích tam giác ABC 4 4 4 bằng a2(cm2) . Hướng Dẫn: 3 7 S S S S S a2(cm2) . BED CEF ADF 16 ABC DEF 16 AK 1 Bài 25: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho . Trên cạnh BC lấy điểm L BK 2 CL 2 sao cho . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK. Tính diện tích tam giác BL 1 ABC, biết diện tích tam giác BQC bằng a2(cm2) . Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. SBLQ SCLQ 4 7 7 2 2 Vẽ LM // CK. SABC SBQC a (cm ) . SBLA SCLA 7 4 4 Bài 26: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho: AD BE CF 1 AB BC CA 3 Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các đ/thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC là S. Hướng Dẫn: Gọi M, P, T lần lượt là giao điểm của AE và CD, AE và BF, BF và CD. DD 7 CM 6 6 2 2 Qua D vẽ DD // AE. Tính được S S S S . ME 6 CD 7 CMA 7 CAD 7 ABC 7 1 S S (S S S ) S . MPT ABC CMA APB BTC 7 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12