Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 2: Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-let

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 2: Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-let

1. BÀI 2: ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET I. Tóm tắt lý thuyết Định lý Ta – lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. A D E B C ABC : D AB,E AC GT AD AE và BD EC KL DE PBC Hệ quả của định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. A D E B C ABC : DE PBC GT D AB,E AC AD AE DE KL AB AC BC Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. A E D a A B C D E a B C AD AE DE . AB AC BC II. Các dạng bài tập Dạng 1. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta – let để chứng minh các đoạn thẳng song song. Bài 1: Cho hình thang ABCD AB PCD . Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD là M và N. Chứng minh: MN, AB và CD song song với nhau. Hướng Dẫn: Gọi P là trung điểm của AD. Ta chứng minh được NP và MP lần lượt là đường trung bình của ABD và ADC nên suy ra NP//AB và MP//DC. Mặt khác AB//CD nên ta có P, N, M thẳng hàng MN / / AB / /DC . Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC 4CM. Trên cạnh AC lấy điểm N CN 1 sao cho . Chứng minh MN song song với AB. AN 3 Hướng Dẫn: CM 1 Ta có BC 4CM BM 3CM BM 3 CM CN Kết hợp với giả thiết ta có MN / / AB BM AN Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau. Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC = m. Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài các đoạn thẳng DM và EN theo m. Hướng Dẫn: DM AD m Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có: DM BC AB 3 EN AE 2 EN m BC AB 3 Bài 2: Cho hình thang ABCD AB PCD,AB CD . Gọi trung điểm của đường chéo BD là M. Qua M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC tại N. Chứng minh: CD AB a) N là trung điểm của AC; b) MN . 2 Hướng Dẫn: a) Gợi ý: Gọi Q là giao điểm của MN với BC Q BC . Chứng minh được Q là trung điểm của BC và NQ//AB suy ra ĐPCM. 1 1 b) Ta có MQ DC, NQ AB 2 2 DC AB Vậy MN MQ NQ 2 Bài 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K. Chứng minh: AK HA AF AE AI a) ; b) . BD DC BF CE ID Hướng Dẫn: AI AK AI AH a) AK / /BD ;Từ AH / /DC ID BD ID DC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. AK AH Do đó BD DC AK AH AK AH HK AI b) Ta có: (1) BD DC BD DC BC ID Ta chứng minh AF AH AE AK (2); (3) BF BC CE BC AE AF AI Từ (1), (2), (3) ta có (ĐPCM) CE BF ID Bài 4: Cho tứ giác ABCD có B Dµ 900. Gọi M là điểm bất kì trên đường chéo AC. Gọi N và P MN MP lần lượt là hình chiếu của M trên BC và AD. Chứng minh 1. AB CD Hướng Dẫn: MN MC Ta chứng minh được MN//AB, áp dụng hệ quả định lý Ta-lét (1) AB AC PM AM Tương tự: PM / /DC (2) DC AC Lấy (1) + (2) ta được ĐPCM Bài 5: A ABC; đường cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thứ tự tại B’, C’, H’ AH ' B'C' ‘B H’ C’ KL a) AH BC 1 2 b) Biết AH’ = AH; S ABC = 67,5cm 3 B H C Tính S A’B’C’ Hướng Dẫn: AH ' B'H ' H 'C' B'H ' H 'C' B'C' a) Vì d // BC = = = = (đpcm) AH BH HC BH HC BC AH ' B'C' AH ' AH '.B'C' 2S S b) Từ ( )2 = = AB'C' = AB'C' AH BC AH AH.BC 2S ABC S ABC 1 AH ' 1 AH ' 1 1 Mà AH’ = AH = ( )2 = ( )2 = 3 AH 3 AH 3 9 S AB'C' 1 2 Vậy = và S ABC = 67,5cm S ABC 9 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. S 1 S 1 Nên ta có : AB'C' = AB'C' = S ABC 9 67,5 9 67,5 2 S AB’C’ = = 7,5(cm ) 9 Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song Phương pháp giải: Xét các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trong tam giác để chứng minh các đường thẳng song song (có thể sử dụng định lý Ta – lét thuận và hệ quả của định lý Ta – lét để có được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ). Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC. Hướng Dẫn: AI AM AN AK Từ IM//BK và KN//IC ta suy ra và . AB AK AI AC AN AM Do đó ĐPCM. AB AC Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM. Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB. Chứng minh EF song song với BC. Hướng Dẫn: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF tại H và cắt tia BE tại K. Áp dụng kết quả ý a) 3A. và MB = MC ta chứng minh được AH = AK. AH AF AK AE Lại có ; BC FB BC EC AF AE nên ĐPCM. FB EC Cách khác: Áp dụng định lý Xê va (sẽ được chứng minh ở bài 9 phần BTVN). Do AM, BE, CF đồng quy tại I. MB EC FA . . 1 MC EA FB Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. BÀI 2: ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET I. Tóm tắt lý thuyết Định lý Ta – lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. A D E B C ABC : D AB,E AC GT AD AE và BD EC KL DE PBC Hệ quả của định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. A D E B C ABC : DE PBC GT D AB,E AC AD AE DE KL AB AC BC Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1