Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 3: Tính chất đường phân giác của một tam giác

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 3: Tính chất đường phân giác của một tam giác

1. BÀI 3: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC I. Tóm tắt lý thuyết Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. A B C D ABC , AD là tia phân giác của GT B· AC D BC DB AB KL DC AC D'B AB Chú ý: Định lý trên vẫn đúng đối với tia phân giác ngoài của tam giác: D'C AC (với AB AC ). A B D C II. Các dạng bài tập Dạng 1. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ; Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết. Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 21cm,AC 28cm. Kẻ phân giác trong AD của B· AC (với D BC ). Tính BD, CD. Hướng Dẫn: Tính được BC = 35cm. Trong tam giác ABC, phân giác AD, ta có: BD AB 3 CD AC 4 3 Suy ra, BD CD 4 7 Ta có: BC = BD + CD hay BD CD . 4 3 Từ đó tính được CD = 20cm, BD CD 15cm 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ phân giác trong AD của B· AC (với D BC ), biết DB 15cm,DC 20cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC. Hướng Dẫn: Ta có: BC = BD + CD = 35cm. 3 Ta chỉ ra được AB AC 4 Trong ABC vuông cân tại A, ta có: BC 2 AB2 AC 2 9 25 BC 2 AC 2 AC 2 AC 2 16 16 Từ đó tính được 3 AC 28cm, AB AC 21cm 4 Dạng 2. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ; Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) và định lý đảo của định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau hay các đường thẳng song song. Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F.Chứng minh rằng : OE = OF Hướng Dẫn: Sơ đồ giải OE = OF  OE OF = DC DC  OE AO OF BO AO BO = ; = ; = DC AC DC BD AC BD    AEC BOF AOB : : : ADC BDC COD   EF // DC AB // CD  gt Bài 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. DB EC FA a) Chứng minh . . 1. DC EA FB b) Khi tam giác ABC cân tại A, chứng minh EF song song với BC. AB 2 c) Biết , tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD. AC 3 Hướng Dẫn: a) Cách 1. Sử dụng định lý Xe va đã chứng minh ở Câu 9 Bài 2. BD AB Cách 2. Có thể chứng minh như sau: Xét tam giác ABC, phân giác AD, ta có: CD AC CE BC AF CA Tương tự, ta chứng minh được: , AE BA BF CB DB EC FA AB BC CA Vậy . . . . 1 . DC EA FB AC BA CB b) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC AE BA AC AF Suy ra, ta có: . Vậy theo định lý Ta-lét đảo, ta có ĐPCM. CE BC BC BF DB AB 2 c) Dễ thấy . Gọi h là chiều cao từ đỉnh A tới đáy BC, ta có: DC AC 3 h.DB S DB 2 ABD 2 h.DC S ACD DC 3 2 Bài 3: Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF giao nhau tại I. Chứng minh: DI BC DI EI FI a) ; b) 1. DA Chu vi ABC DA EB FC Hướng Dẫn: DI DB a) Trong tam giác ABD, phân giác BI, ta có: AI AB DI DC Tương tự, ta có: AI AC Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. DI DB DC DB DC BC AI AB AC AB AC AB AC DI BC DI BC Suy ra, AI DI AB AC BC AD Chu vi ABC b) Sử dụng kết quả câu a) Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD của B· AC (với D BC ). Từ trung điểm M của BC, kẻ một đường thẳng song song với AD, cắt AC tại F và cắt tia đối của tia AB tại E. Chứng minh BE = CF. Hướng Dẫn: ·AEF B· AD (góc đồng vị) E· FA D· AC (góc so le trong) Nên ta có AEF cân tại A Từ đó, ta có: EA = FA Ta chứng minh được: BE = CF Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của Aµ và Dµ cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD. Hướng Dẫn: Gọi I là giao điểm của BD và AC. AB BM Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: AD DM CD CN Tương tự, ; AD AN BM CN Mà AB =CD, suy ra DM AN Từ đó, ta có: BM CN BD CA DI AI 1 1 DM AN DM AN DM AN Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Suy ra ĐPCM. III. Bài tập tự luyện Bài tập cơ bản Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. BD a) Tính tỉ số biết AB = 3cm; AC = 5cm DC b) Tính độ dài DC, biết BD = 1,5cm Hướng Dẫn:  a)AD là phân giác của BAC , ta có BD AB 3 BD 3 . Vậy DC AC 5 DC 5 BD 3 5 b) DC BD DC 5 3 5 hay DC 1,5 2,5cm 3 Bài 2: Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD, BC = 10cm, AB = 15cm.Tính AD, DC. Hướng Dẫn: BD là phân giác trong của góc B nên DA BA DC BC Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có DA DC BA BC AC 15 10 DC BC DC 10 10.AC 10.15 DC 6 (cm) 25 25 Ta có DA + DC = AC AD AC DC 15 6 9 (cm) Bài 3: Cho tam giác ABC có AB 45cm, AC 30cm, BC 50cm . Vẽ đường phân giác AD. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. BÀI 3: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC I. Tóm tắt lý thuyết Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. A B C D ABC , AD là tia phân giác của GT B· AC D BC DB AB KL DC AC D'B AB Chú ý: Định lý trên vẫn đúng đối với tia phân giác ngoài của tam giác: D'C AC (với AB AC ). A B D C II. Các dạng bài tập Dạng 1. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ; Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết. Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB 21cm,AC 28cm. Kẻ phân giác trong AD của B· AC (với D BC ). Tính BD, CD. Hướng Dẫn: Tính được BC = 35cm. Trong tam giác ABC, phân giác AD, ta có: BD AB 3 CD AC 4 3 Suy ra, BD CD 4 7 Ta có: BC = BD + CD hay BD CD . 4 3 Từ đó tính được CD = 20cm, BD CD 15cm 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1