Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng

1. BÀI 4: KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I. Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Aµ Aµ';B Bµ';Cµ Cµ' Ta có ABC ∽ A'B'C ' AB BC CA A'B' B'C ' C 'A' 2. Tính chất a) Mỗi tam giác đồng dạng với chính tam giác đó (hoặc nói: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau). 1 b) Nếu ABC ∽ A'B'C ' theo tỉ số k thì A'B'C '∽ ABC theo tỉ số . k c) Nếu ABC ∽ A'B'C ' và A'B'C '∽ A"B"C" thì ABC ∽ A"B"C". 3. Định lý Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. A D E B C ABC GT DE PBC D AB,E AC KL ADE ∽ ABC II. Các dạng bài tập Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, tính chất hoặc định lý để chứng minh các tam giác đồng dạng. Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD 2AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE 2AC.Chứng minh ADE ∽ ABC. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE. Từ đó chứng minh được: AMN : AD E (Định lý) ABC : AMN (do hai tam giác bằng nhau) Suy ra ABC : ADE Bài 2:Từ điểm D trên cạnh AB của tam giác ABC, kẻ một đường thẳng song song với BC, cắt AC ở E và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại F; BF cắt AC ở I. Tìm các cặp tam giác đồng dạng. Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh: Không kể các tam giác đồng dạng với chính nó còn có: DFB : CBF; ABC : ADE . Dùng định nghĩa để chứng minh: ADE : CFE; EFI : CBI; FIC : BIA Suy ra ABC : CFE theo tính chất bắc cầu) Dạng 2. Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua các tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, các tính chất của hai tam giác đồng dạng. Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 6cm,BC 10cm. Kẻ một đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB và AC tại E và F. Biết AE 2cm , tính tỉ số đồng dạng của AEF , ABC và độ dài các đoạn cạnh AF, EF. Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh: AEF : ABC AF EF AE 2 1 Suy ra: AC BC AB 6 3 1 Vậy hệ số tỉ lệ là 3 AF EF 1 AC 8 BC 10 Có: AF cm; EF cm AC BC 3 3 3 3 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Bài 2: Cho tam giác ABC có AB 5cm,BC 8cm,AC 7cm. Lấy điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD 2cm . Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB lần lượt tại F và E. a) Chứng minh BDE ∽ DCF. b) Tính chu vi tứ giác AEDF. Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh: BED : BAC; DFC : BAC. Từ đó suy ra BED : DFC 5 7 b) Tương tự ta tính được BE cm; ED cm 4 4 Chu vi hình bình hành AEDF 2AE 2ED 11cm Bài 3 :Cho ABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh AC sao cho DE // BC. 2 Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi ABE = chu vi ABC. 5 Tính chu vi của 2 tam giác đó, biết tổng 2 chu vi = 63cm 2 A ABC; DE // BC; C.vi ADE= C.vi ABC 5 GT C.vi ADE + C.vi ADE = 63cm D E KL Tính C.vi ABC và C.vi ADE B C Hướng Dẫn: Do DE // BC nên ADE :ABC theo tỷ số đồng dạng. AD 2 K = = . Ta có . AB 5 Chuvi ADE' 2 Chuvi ABC Chuvi ADE Chuvi ABC Chuvi ADE 63 = = 9 Chuvi ABC 5 5 2 5 2 7 Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) Dạng 3. Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua các tam giác đồng dạng Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, có AB 6cm,AD 5cm. Lấy F trên cạnh BC sao cho CF 3cm. Tia DF cắt tia AB tại G. a) Chứng minh GBF ∽ DCF và GAD ∽ DCF. b) Tính độ dài đoạn thẳng AG. c) Chứng minh AG.CF AD.AB. Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh GBF : GAD; GBF : DCF suy ra GAD : DCF BG BF b) Do GBF : DCF ta có: thay số và tính được BG 4cm AG 10cm CD CF Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. GA AD c) GAD : DCF GA.CF CD.AD; DC CF Mà AB = CD, suy ra ĐPCM. Bài 2: Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ một đường PN QN thẳng bất kỳ cắt Ax ở N, cắt AB ở P và cắt AC ở Q. Chứng minh . PM QM Hướng Dẫn: PM BM PBM : PAN PN AN Theo định lý Ta-lét ta có: QM MC BM QN AN AN Suy ra ĐPCM. III. Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC. Chứng minh rằng EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA  DB = E MB  AC = F KL EF // AB D M C Định hướng giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác Định nghĩa hai tam giác đồng dạng Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt)   AB // DM AB // MC   MED : AEB GT MFC : BFA    ME MD MF MC = ; MD = MC = EA AB FB AB  ME MF = EA FB  Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. EF // AB (Định lý Ta lét đảo) MB 1 Bài 2 : Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho . Qua M kẻ đường thẳng song MC 2 song với AC cắt cạnh AB ở D. Qua M kẻ đ\ường thẳng song song với AB cắt AC ở E. a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng. b) Tính chu vi tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC bằng 24cm. Hướng Dẫn: A E D B M C a) DBM ABC EMC ABC EMC DBM P 8cm P 16 cm b)Chu vi tam giác DBM ; EMC Bài 3: Hai tam giác mà độ dài các cạnh như sau có đồng dạng không? a) 15cm, 18cm, 21cm và 28cm, 24cm, 20cm. b) 1dm, 2dm, 2dm và 10cm, 10cm, 5cm. c) 4m, 5m, 6m và 8m, 10m, 12m Hướng Dẫn: 15 18 21 3 a) ( ) => Hai tam giác đồng dạng 20 24 28 4 10 20 20 b) ( 2) => Hai tam giác đồng dạng 5 10 10 4 5 c) 8 9 Bài 4 : Tứ giác ABCD có AB = 2cm, BC = 10cm, CD = 12,5cm, AD = 4cm, BD = 5cm. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang. Hướng Dẫn: A B 2 10 4 5 D 12,5 C ABD BDC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. ABˆD BDˆ C ABˆD; BDˆ Csoletrong => AB//CD Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC 3AE . Qua E vẽ đường thẳng song song vớiCD , cắt AD và BC thứ tự ở M và N . a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác ADC và tìm tỉ số đồng dạng. b) Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN ? Hướng Dẫn: A B M N E D C Hình 16 AE 1 a) ME / / DE AME ∽ ADC , tỉ số đồng dạng bằng AC 3 CBA ADC CBA∽ ADC , tỉ số đồng dạng bằng 1 CE 1 EN / / AB CNE ∽ CBA do đó CNE ∽ ADC , tỉ số đồng dạng AC 3 ME AE EN CE b) Ta có MN / / DC nên , DC AC AB AC Do AB CD nên ME EN AE EC E là trung điểm của AC Bài 6: Qua điểm D thuộc cạnh AB của tam giác ABC , vẽ đường thẳng song song với BC , cắt AC ở E. Qua E vẽ đường thẳng song song với AB , cắt BC ở F a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong hình b) Biết rằng BC 16 cm, BD 10 cm, DE 6 cm . Tính độ dài AD và chứng tỏ rằng ABC là tam giác cân. Hướng Dẫn: A D E C B F a) Các cặp tam giác đồng dạng: ADE vàHAìnBhC 89 , EFC vàABC , ADE vàEFC . b)AD 6cm , ABC cân ở B Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. Bài 7: Cho tam giác ABC . Một đường thẳng song song với BC , cắt AB và AC thứ tự ở D và E 1 sao cho DE BC . Chứng minh rằng DE là đường trung bình của tam giác. 2 Hướng Dẫn: AD 1 Chứng minh: AB 2 Bài 8: Cho tam giác ABC có cạnh BC 10cm,CA 14cm,AB 6cm. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF có cạnh nhỏ nhất là 9cm. Tính các cạnh còn lại của tam giác DEF. Hướng Dẫn: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh AB BC AC 6 10 14 ABC : DEF DE EF DF DE EF DF Cạnh nhỏ nhất của DEF phải tỉ lệ với cạnh nhỏ nhất của ABC 6 10 14 Vậy DE = 9cm và 9 EF DF Suy ra, EF = 15cm, DF = 21cm. Bài 9: Cho tam giác ABC có cạnh AB 2cm,BC 3cm,CA 4cm đồng dạng với tam giác MNP. Tính độ dài các cạnh của tam giác MNP biết chu vi của tam giác MNP là 36cm. Hướng Dẫn: Từ kết quả của các bài đã học , Ta có: Chu vi ABC 9 1 AB BC AC Chu vi MNP 36 4 MN NP MP MN 8cm; NP 12cm; MP 16cm. Bài 10: Cho hình thang ABCD AB PCD có CD 2AB. Gọi E là trung điểm của DC. Chứng minh ba tam giác EDA, ABE và CEB đồng dạng với nhau. Hướng Dẫn: Học sinh sử dụng tính chất các tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau để chứng minh Bài 11: Cho hình bình hành ABCD, lấy F trên cạnh BC. Tia DF cắt tia AB tại G. Chứng minh AG, CF luôn không đổi khi F di động trên BC. Hướng Dẫn: Tương tự ví dụ 1(dạng 3) Ta có: GA.CF = CD.AD Mà CD, AD là không đổi khi F di chuyển trên BC. Ta được ĐPCM. MB 1 Bài 12: Cho tam giác ABC, lấy M trên cạnh BC sao cho . Qua M kẻ đường thẳng song MC 2 song với AC cắt AB tại D. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng. b) Tính chu vi các tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC bằng 24cm. Hướng Dẫn: BM 1 BM 1 CM 2 a) ; . Suy ra: CM 2 BC 3 BC 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. BM 1 BDM : BAC với tỉ số đồng dạng là BC 3 CM 2 MEC : BAC với tỉ số đồng dạng là BC 3 BM 1 BDM : MEC với tỉ số đồng dạng là . CM 2 b) Tính được chu vi tam giác BMD là 8cm, chu vi tam giác MEC là 16cm. 2 Bài 13: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số . Tính chu vi mỗi tam giác 5 biết hiệu chu vi của hai tam giác là 51cm. Hướng Dẫn: Ta gọi chu vi của hai tam giác ABC và MNP lần lượt là x, y. x 2 Theo giả thiết, ta có: và y - x = 51. y 5 Từ đó tính được y = 85cm; x = 34cm. Bài 14. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh CA. Vẽ MP song song với AB (P thuộc CB) và 2 2 MN song song với CB (N thuộc AB). Biết S AMN a ,S PMC b . Chứng minh rằng 2 S ABC (a b) Hướng Dẫn: Gọi MA = x; MC = y (x, y >0) Gọi S AMN S1,S PMC S2 S BNP S3;S ABC S Ta có MN//BC AMN ABC 2 2 S1 AM x S AC x y Ta có MP//BA CMP CAB 2 2 S2 MC y S AC x y 2 2 S1 S2 x y Do đó S x y x y S S S 2xy Ta có 1 2 (1) S (x y)2 Ta có BNMP là hình bình hành SBNMP 2S3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. 2S 2xy Do đó từ (1) ta có thể viết 3 S (x y)2 S x y 3  (2) S (x y) (x y) Bình phương hai vế của (2) ta được 2 S3 S1 S2 2  S3 S1.S2 S S S Hay S3 a.b 2 2 Mặt khác S ABC S1 S2 2S3 a b 2ab 2 Vậy S ABC (a b) Bài 15: Hình thang ABCD AB PCD có AB 10cm,CD 25cm và hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minhh rằng AOB ∽ COD và tìm tỉ số đồng dạng. Hướng Dẫn: Sử dụng định nghĩa để chứng minh AOB : COD AB 10 2 Tỉ số đồng dạng là CD 25 5 Bài 16: Cho tam giác A B C đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác. 3 b) Cho k và hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm. Tính chu vi của mỗi tam giác. 5 Hướng Dẫn: P a) k b) P 60(dm),P 100(dm) . P 4 Bài 17: Cho tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k . Tính chu vi của tam 3 giác ABC, biết chu vi của tam giác A B C bằng 27cm. Hướng Dẫn: P 20,25(cm). Bài 18: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 75cm. Tính độ dài các cạnh của A B C . Hướng Dẫn: A B 15cm, B C 25cm, A C 35cm . Bài 19: Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. a) Chứng minh ABH ∽ ACK. b) Cho A· BC 400 Tính A· KH Hướng Dẫn: b) A· CB A· KH Bài 20: Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là hình chiếu của B trên đường thẳng CP. BH CH a) Chứng minh BHP ∽ CHB. b) Chứng minh: . BQ CD c) Chứng minh CHD ∽ BHQ. Từ đó suy ra D· HQ 900 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. Hướng Dẫn: c) Chứng minh : D· HQ C· HD C· HQ B· HQ C· HQ B· HC Bài 21: Hai tam giác ABC và DEF có Aµ Dµ;Bµ Eµ , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. a) Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. b) Cho diện tích tam giác ABC bằng 39,69cm2 . Tính diện tích tam giác DEF. Hướng Dẫn: 2 a) ABC ∽ DEF EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF 22,33(cm ) . Bài 22: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. a) Chứng minh AKI ∽ ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC. c) Tính diện tích của tứ giác AKHI. Hướng Dẫn: 216 b) S 39cm2 c) S cm2 . ABC AKHI 13 Bài 23: Cho tam giác ABC, có Aµ 900 Bµ , đường cao CH. Chứng minh: Hướng Dẫn: a. C· BA A· CH b. CH 2 BH.AH Bài 24: Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC bằng S . Hướng Dẫn: S S . GMN 12 Bài 25: Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM = DA. a) Chứng minh EMC ∽ ECB. b) Chứng minh EB.MC = 2a2 . c) Tính diện tích tam giác EMC theo a. Hướng Dẫn: 4 c) S a2 . EMC 5 Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB, lấy điểm M sao cho 2AM 3MB . Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC tại N. Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC tại D. a) Chứng minh AMN ∽ NDC. b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm. Tính diện tích các tam giác AMN, ABC và NDC. Hướng Dẫn: 200 32 b)S 24cm2 , S cm2 , S cm2 . AMN ABC 3 NDC 3 Bài 27: Cho hai tam giác ABC và A'B'C ' đồng dạng với nhau theo tỉ số k, chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và A'B'C ' cũng bằng k. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10