Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)

1. CHỦ ĐỀ 6. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI (C.G.C) I. Tóm tắt lý thuyết Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng. A A' B C B' C' ABC, A'B'C ' GT AB BC ,B Bµ' A'B' B'C ' ABC ∽ A'B'C ' KL II. Các dạng toán Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng – tính góc – Tỉ số đoạn thẳng – Tỉ số chu vi – diện tích Bài 1: A ABC; AB = 12cm; AC = 15cm 10 8 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm KL MN = ? M N B C Hướng Dẫn: Xét ABC và ANM ta có : AM 10 2 = = AC 15 3 AM AN AN 18 2 = = = AC AB AB 12 3 Mặt khác, có µA chung Vậy ABC : ANM (c.g.c) AB BC 12 18 8.18 Từ đó ta có : = hay = 12(cm) AN NM 18 MN 12 Bài 2 :Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB lấy điểm C 5 sao cho AC = AH. Tính B· AC . 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Hướng Dẫn: A ABH; Hµ = 900 ; AB = 20cm 5 20 GT BH = 12cm; AC = AH 3 KL B· AC = ? B 12 H C AB 20 5 AC Ta có BH 12 3 AH AB BH AC AH Xét ABH và CAH có : ·AHB = C· HA = 900 AB BH (chứng minh trên) AC AH ABH : CAH (CH cạnh gv) C· AH = ·ABH Lại có B· AH + ·ABH = 900 nên B· AH + C· AH = 900 Do đó : BAC = 900 Bài 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính BKD? Hình thoi ABCD; µA = 600 ; B GT BN  DM tại K KL Tính B· KD = ? K C A D N Hướng Dẫn: MB MC Do BC // AN (vì N AD) nên ta có : (1) AB NC MC AD Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : (2) NC DN MB AD Từ (1) và (2) AB DN ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và µA = 600 nên là đều AB = BD = DA Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. MB AD MB BD Từ (cm trên) AB DN BD DN Mặt khác : M· BD = D· BN = 1200 MB BD Xét 2 MBD và BDN có : ; M· BD = D· BN BD DN MBD : BDN (c.g.c) ¶ µ M1 = B1 ¶ µ · · · 0 MBD và KBD có M1 = B1 ; BDM chung BKD = MBD = 120 Vậy B· KD = 1200 Dạng 2. Chứng minh hai tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Bước 1: Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau và chứng minh (nếu cần); Bước 2: Lập tỉ số các cạnh tạo nên mỗi góc đó, rồi chứng minh chúng bằng nhau; Bước 3: Từ đó, chứng minh hai tam giác đồng dạng. Bài 1: Cho ABC có các trung điểm của BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao cho BM = MN = NC. Gọi P là giao điểm của AM và BE; Q là giao điểm của CF và AN. Chứng minh: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng. b) ABC : DQP Hướng Dẫn: a) Chứng minh cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC PD là đường trung bình BEC PD // AC F, P, D thẳng hàng FP là đường trng bình ABE FP // AC Tương tự cho 3 điểm D, Q, E 1 1 AC AC b)PD = . EC = . = 2 2 2 4 AC 4AC = 4 B· AC D· EC (Đơn vị EF // AB) PD 4 AB 4QD D· EC E· DP (so le trong PD // AC) = 4 QD QD   AC AB ; B· AC E· DP DP QD  ABC : DQP (c.g.c) Bài 2. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song BC cắt cạnh AB và AC tại D và E sao cho   DC 2 BC.DE . Chứng minh ECD DBC Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Ta có DC 2 BC.DE DC DE BC DC Xét hai tam giác DEC và CDB có   EDC DCB (so le trong) DC DE Và BC DC Nên DEC CDB   ECD DBC (hai góc tương ứng) Bài 3: Cho x· Oy , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng AOB ∽ COD nếu biết một trong các trường hợp sau: OA OB a) ; b) OA.OD OB.OC. OC OD Hướng Dẫn: OA OB a) Có nên ta chứng minh được OC OD AOB : COD (c.g.c) b) Có OA.OD = OB.OC OA OB ĐPCM. OC CO Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. Bài 4: Cho x· oy , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng AOD ∽ BOC nếu OA 4cm,OC 15cm,OB 6cm và OD 10cm. Hướng Dẫn: Chứng minh được AOD : BOC (c.g.c) Bài 5: Cho hình thang ABCD AB PCD , biết AB 9cm,BD 12cm,DC 16cm. Chứng minh ABD ∽ BDC. Hướng Dẫn: AB BD 3 Ta chứng minh được ·ABD B· DC và . Từ đó suy ra ABD : BDC (c.g.c) BD DC 4 Bài 6: Cho x· oy , trên Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm, trên Oy lấy các điểm B và C sao cho OB 2cm,OC 8cm. Chứng minh rằng AOB ∽ COA. Hướng Dẫn: OA OB 1 Chứng minh được OC OA 2 và ·AOB C· OA nên ta có AOB : COA (c.g.c) Dạng 3. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng còn lại bằng nhau. Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Lấy điểm E DE CK trên DH và điểm K trên BC sao cho . Chứng minh: DH CB a) ADE ∽ ACK; b) AEK ∽ ADC; c) A· EK 900 . Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. DE DH a) Ta chứng minh được (1) CK CB DA HD DA HD DE DA HDA : ADB (2) Từ (1) và (2) suy ra mà ·ADE ·ACK DB AD AC BC CK AC nên ta có ADE : ACK (c g c) . AE AD b) Từ phần a) ta suy ra được . AK AC Chứng minh được E· AK C· AD nên ta có AEK : ADC (c.g.c) c) Có AEK : ADC ·AEK ·ADC 900 Bài 2: Cho hình thang ABCD biết Aµ Dµ 900. Trên cạnh AD lấy điểm I sao cho AB.DC AI.DI. Chứng minh: a) ABI ∽ DIC; b) B· IC 900 . Hướng Dẫn: AB DI a) Theo đề bài ta chỉ ta được từ đó suy ra ABI : DIC (c g c) AI DC b) Chứng minh được ·AIB D· CI mà D· IC D· CI 900 B· IC 900 Bài 3: Cho hình thoi ABCD, Aµ 600. Qua C kẻ đường thẳng d bất kì cắt các tia đối của các tia BA, DA theo thứ tự tại E và F. Gọi I là giao điểm của BF và ED. Chứng minh: EB AD a) ; b) EBD ∽ BDF; BA DF c) B· ID 1200. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. BE CE a) Có BC / / AD ; BA CF EC AD Lại có DC / / AB FC DF Suy ra ĐPCM. b) Do ABCD là hình thoi có µA 600 nên: AB = BD = DC = CA = AD EB AD Ta có E· BD B· DF 1200 và theo câu a) BA DF EB BD hay EBD : BDF (c.g.c) BD DF c) Từ phần b) ta có: B· ED D· BF từ đó chứng minh được BDI : EDB mêm suy ra B· ID E· BD 1200 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, Aµ 900. Kẻ AH  CD tại H, AK  BC tại K. Chứng minh: AH DA a) ; b) A· KH A· CH. AK DC Hướng Dẫn: a) Chứng minh AHD : AKB và AB = CD suy ra ĐPCM. AH AK b) Từ phần a ta có và chứng minh được H· AK ·ABC . Từ đó ta có BC BA KAH : ABC; Mà ABC : CDA nên suy ra KAH : CDA từ đó chứng minh được ·AKH ·ACH III. Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ số 1 : 2, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng IK song song BC. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. Hướng Dẫn: Gọi M là trung điểm của AF Gọi N là giao điểm của DM và EF A Xét ADM và ABC có : D M N AD AM 1 F = = AB AC 3 I K Góc A chung B E C ADM P ABC (c.gc) ·ADM = ·ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN EK EK EF 2 1 1 Ta có : = . = . = (1) EN EF EN 3 2 3 EI 1 mà = (gt) (2) ED 3 EK EI Từ 91) và (2) = Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo) EN ED Vậy IK // BC. Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 18cm, AC =27cm, BC=30cm. Gọi D là trung điểm của AB, điểm E thuộc cạnh AC sao choAE =6cm a)Chứng minh: AED ABC b)Tính độ dài DE. Hướng Dẫn: A E D B C a) Xét AEDvà ABC Aˆ chung AE AD 1 AB AC 3 => AED ABC b) Từ câu a) suy ra DE AE DE 1 DE 10cm CB AB 30 3 Bài 3 :Hình thang ABCD(AB//CD) có AB =2cm,BD =4cm,CD = 8cm. Chứng minh. Aˆ D Bˆ C Hương Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. A B C D BA DB 1 BD DC 2 ABˆD BDˆ C (soletrong )  ABD BDC Aˆ D Bˆ C Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A(Aˆ ABD BDC( cgc) CD HD CD 4 AD CD 36 CD CD 12cm BC 24cm => Aˆ DBˆ C Bài 5: Cho x· oy , trên Ox lấy các điểm M và P, trên Oy lấy các điểm N và Q. Chứng minh rằng OMN ∽ OPQ nếu biết một trong các trường hợp sau: a) OM 2cm;ON 1,5cm;OP 4cm;OQ 3cm; b) M là trung điểm của OP, N là trung điểm của OQ. Hướng Dẫn: Học sinh tự giải Bài 6: Cho tam giác ABC có AB 12cm,AC 15cm,BC 18cm. Trên cạnh AB, đặt đoạn AM 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn AN 8cm. Tính độ dài đoạn MN. Hướng Dẫn: Chứng minh được AMN : ACB (c g c) AM MN 2 Do đó ; AC CB 3 Từ đó tính được MN = 12cm. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. Bài 7: Cho x· oy , phân giác Ot. Trên Ox lấy các điểm A và C ' sao cho OA 4cm,OC ' 9cm , trên Oy lấy các điểm A' và C sao cho OA' 12cm,OC 3cm, trên tia Ot lấy các điểm B và B' sao cho OB 6cm,OB' 18cm. Chứng minh: AB AC BC a) OAB ∽ OA'B'; b) . A'B' A'C ' B'C ' Hướng Dẫn: a) Chứng minh được OAB : OA' B '(c g c) AB AC BC 1 b) Chứng minh được A' B ' A'C ' B 'C ' 3 Bài 8: Cho đoạn thẳng AB 13cm, điểm C trên đoạn thẳng ấy sao cho AC 4cm, trên đường thẳng vuông góc với AB tại C, lấy điểm D sao cho CD 6cm. Chứng minh A· DB 900. Hướng Dẫn: Tính AD, DB. Sau đó áp dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác ADB vuông tại D. Từ đó quy ra ĐPCM. AC CD 2 Cách khác: Có mà Cµ 900 DC CB 3 nên C· DB ·ADC 900 ĐPCM. Bài 9: Cho tam giác ABC có AB 9cm,AC 12cm,BC 7cm. Chứng minh B 2Cµ. Hướng Dẫn: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC = 7cm. Chứng minh được ABC : ACE (c g c) suy ra B· CA Eµ Từ đó ta có ·ABC B· CE Eµ 2Eµ 2B· CA Bài 10 : Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm. Chứng minh: B· AD D· BC . Hướng Dẫn: Xét BAD và DBC có AB // CD do đó : ·ABD B· DC (so le trong ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. AB 4 1 BD 8 2 A B BD 8 1 DC 16 2 AB BD 1 ( cùng bằng ) BD DC 2 BAD P DBC (c.g.c) D C B· AD D· BC Bài 11: Tính số đo góc C của hình thang ABCD biết rằng AB / /CD, ·ADB 40o , AB 8cm, BD 12cm,CD 18cm . Hướng Dẫn: A B D C Hình 90 ABD và BDC đồng dạng (c.g.c) suy ra ·ADB ·BCD . Vậy ·BCD 40o Bài 12: Cho tam giác ABC có AB 8 cm, AC 16 cm . Điểm D nằm trên cạnh AB , điểm E nằm trên cạnh AC sao cho BD 2 cm, CE 13 cm . Chứng minh rằng các tam giác AED và ABC đồng dạng, các tam giác ABE và ACD đồng dạng Hướng Dẫn: A E D B C Các tam giác đó đồng dạng theo trườngHình hợp91 c.g.c Bài 13: Hình thang vuông ABCD có µA Dµ 90o , AB 10cm,CD 30cm, AD 35cm . Điểm E nằm trên cạnh AD sao cho AE 15 cm . Tính B· EC Hướng Dẫn: A B E D C Hình 92 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. Chứng minh rằng BAE và EDC đồng dạng Bài 14: Cho tam giác ABC có AB 4 cm, AC 6 cm, BC 9cm . Điểm D nằm trên cạnh BC sao choCD 4 cm . Tính độ dài AD Hướng Dẫn: A B C D Hình 93 AC DC 3 ABC và DAC đồng dạng vì góc C chung, . BC AC 2 AB AC 4 6 8 Do đó AD cm AD DC AD 4 3 1 Bài 15: Cho tam giác ABC có AB BC, M là trung điểm của BC , D là trung điểm của 2 1 BM Chứng minh rằng AD AC 2 Hướng Dẫn: A B C D M HDìAnh 94DB 1 1 DBA và ABC đồng dạng (c.g.c) nên . Do đó AD= AC . AC AB 2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12