Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

1. BÀI 7: TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA (G.G) I. Tóm tắt lý thuyết Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. A A' B C B' C' ABC, A'B'C ' GT Aµ Aµ',B Bµ' KL ABC ∽ A'B'C ' II. Các dạng bài tập Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng – Tỉ số đoạn thẳng – Tỉ số chu vi, diện tích Bài tập minh họa Bài 1: ABCD là h.thang (AB // CD) A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm D· BA = D· BC x KL x = ? D C Hướng Dẫn: ABD và BDC có : D· AB = D· BC (gt) Bµ 1 = Dµ 1 ( so le trong do AB // CD) ABD : BDC (g.g) AB BD 12,5 x = hay = BD DC x 28,5 x2 = 12,5 . 28,5 x = 1218,9(cm),5 . 28,5 Bài 2: Tam giác ABC có Bµ = 2Cµ ; AB = 4cm; BC = 5cm. Tính độ dài AC? Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Hướng Dẫn: A Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC B ACD và ABC có µA chung; Cµ = Dµ =  ACD ABC: (g.g) AC AD = AC2 = AB. AD AB AC D C = 4 . 9 = 36 AC = 6(cm) Bài 3: Cho ABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho B· DC ·ABC . Biết AD = 7cm; DC = 9cm. BD Tính tỷ số BA B ABC; D AC : ; B· DC ·ABC GT AD = 7cm; DC = 9cm BD KL Tính . BA C D A Hướng Dẫn: CAB và CDB có C chung ; ·ABC = B· DC (gt) CB CA CAB :CDB (g.g) do đó ta có : CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) Do đó CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) DB 3 Mặt khác lại có : BA 4 Bài 4:Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của Ab, BC, CE cắt DF ở M. S Tính tỷ số CMB ? SABCD D C Hình vuông ABCD; AE = EB ; M GT BF = CF; CE  DF tại M S F KL Tính CMB ? SABCD A E B Hướng Dẫn: Xét DCF và CBE có DC = BC (gt); Cµ = Bµ = 900; BE = CF µ µ DCF = CBE (c.g.c) D 1 = C 2 µ µ µ µ Mà C 1 + C 2 = 1v C 1 + D 1 = 1v CMD vuông ở M µ µ µ ¶ DC CM CMD : FCD (vì D 1 = C 2 ; C = M ) FD FC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. 2 2 SCMD CD CD = 2 SCMD = 2 . SFCD SFCD FD FD 1 1 1 1 2 Mà SFCD = CF.CD = . BC.CD = CD 2 2 2 4 2 4 CD 1 2 1 CD Vậy SCMD = . CD = . (*) FD2 4 4 FD2 Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có: 1 1 5 DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 2 4 4 5 Thay DF2 = CD2 ta có : 4 1 2 1 SCMD = CD = SABCD 5 5 S 1 CMB = SABCD 5 Bài 5: Hướng Dẫn: ABC (µA = 900); AH  BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL Tính S AMH A Xét 2 vuông HBA và vuông HAC có : B· AH + H· AC = 1v (1) H· CA + H· AC = 1v (2) Từ (1) và (2) B· AH = H· CA Vậy HBA : HAC (g.g) B 4 H M C HB HA HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 9 HA HC HA = 6cm Lại có BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 1 6.13 2 S ABM = S ABC = . = 19,5(cm ) 2 2 2 1 2 S AHM = S BAH = 19,5 - .4.6 = 7,5(cm ) 2 2 Vậy S AMH = 7,5(cm ) Bài 6:Cho ABC và hình bình hành AEDF có E AB; D BC, F AC. Tính diện tích hình 2 2 bình hành biết rằng : SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm ; ABC hình bình hành AEDF 2 2 GT SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm KL Tính SAEDF Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. Hướng Dẫn: µ µ Xét EBD và FDC có B = D 1 (đồng vị do DF // AB) (1) E1 = D2 ( so le trong do AB // DF) µ µ E 1 = F 1 (2) D2 = E1 ( so le trong do DE // AC) Từ (1) và (2) EBD :FDC (g.g) 1 2 Mà SEBD : SFDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ( ) 2 EB ED 1 1 Do đó : FD = 2EB và ED = FC A FD FC 2 2 AE = DF = 2BE ( vì AE = DF) F 1 AF = ED = EC ( vì AF = ED) E 1 2 2 Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm ) 1 2 1 1 2 SADF = SFDC = . 12 = 6(cm ) B D C 2 2 2 SAEDF = SADE + SADF = 6 + 6 = 12(cm ) Dạng 2:Chứng minh hai tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác để suy ra hai tam giác đồng dạng. Bài tập minh họa Bài 1: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm F Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm, trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F.B a) CMR : ABC : AED D b) FBD : FEC 3,6 c) Tính ED ; FB? Hướng Dẫn: C A E 2,4 Sơ đồ chứng minh: a) GT  µA chung AB AC = = 2 AE AD  ABC : AED (c.g.c) ABC : AED (câu a) b)  µ ¶ ¶ ¶ C = D1 ; D1 = D2  µ ¶ C = D2 Fµ chung Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5.  FBD : FEC (g.g) c)Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB. Bài 2:Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho D· ME = Bµ . A a) CMR : BDM : CME b) MDE : DBM c) BD . CE không đổi E D 1 1 B C M Hướng dẫn: gt góc ngoài DBM   µ ¶ · ¶ ¶ · ¶ µ B = M1 ; DMC = M1 + M 2 ; DMC = D1 + B1 ABC cân   µ µ ¶ ¶ B = C ; D1 = M 2  BDM : CME (gg) Câu a gt   DM BD b) = ; CM = BM ME BM  DM BD = ME BM  DM ME Bµ = M¶ (gt) ; 1 1 BD BM  DME : DBM (c.g.c) c) Từ câu a : BDM : CME (gg) BD BM BD . CE = Cm . BM CM CE BC Mà CM = BM = = a 2 a2 BD . CE = (không đổi) 4 Bài 3: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh: a) ABD ∽ ECD; b) ACE cân tại C. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. a) Do AB//CE nên B· AD D· EC . Chứng minh được ABD : ECD(g.g) b) Chứng minh được C· AD C· ED B· AD nên ACE cân tại C. Bài 4: Hình thang ABCD AB PCD , có D· AB C· BD .Chứng minh ABD ∽ BDC. Hướng Dẫn: Chứng minh được ABD : BDC(g.g) Bài 5: Cho ABC có AM là phân giác của B· AC M BC . Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC 1 không chứa A sao cho B· Cx B· AC. Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng minh: 2 a) BM.MC MN.MA; b) ABM ∽ ANC; c) Tam giác BCN cân. Hướng Dẫn: a) Chứng minh được B ĐPCM.AM : NCM (g.g) b) Từ a, suy ra ·ABM C· NM . Từ đó chứng minh được ABM : ANC(g.g) BM MN c) Từ a, có . MA CM 1 Chứng minh được BMN : AMC(c.g.c) .Do đó N· BM C· AM B· AC , ta chỉ ra 2 N· BM B· CN ĐPCM. Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến d qua A bất kì cắt đường chéo BD tại E và các đường thẳng BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh: a) GCF ∽ GDA; b) GCF ∽ ABF; c) GDA ∽ ABF và tích số BF.DG luôn không đổi khi d quay quanh A. Hướng Dẫn: a) b) HS tự chứng minh. c) Sử dụng tính chất bắc cầu, ta chỉ ra được GDA : ABF . Từ đó suy ra BF.DG = AB.AD, mà AB.AD không đổi khi d quay quanh A ĐPCM. Dạng 3: Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đường chéo AC và BD a)Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC. OA AB b)Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. CMR: = OK CD Hướng Dẫn: a) OA. OD = OB.OC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. Phân tích Sơ đồ hướng chứng minh: µ µ + A 1 = C 1 (SLT l AB // CD) H + ·AOB = C· OD ( Đối đỉnh) A B  OAB ∽ OCD (g.g) O  OA OB = D C OC OD K  OA.OD = OC.OC Học sinh tự trình bày theo sơ đồ đi lên OH AB b) = OK CD Phân tích Sơ đồ hướng chứng minh: +Hµ = Kµ = 900 µ µ + A 1 = C 1.(SLT; AB // CD) Câu a   OAH P ∽ OCK(gg) OAB ∽ OCD   OH OA AB OA = = OK OC CD OC OH AB = OK CD Học sinh tự trình bày lại theo sơ đồ đi lên Bài 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đường thẳng qua P vuông góc với AB tại I. CMR : AB2 = AC. AP + BP.PD O C P 6 A I B Hướng Dẫn: Xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB) AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB) Việc chứng minh bài toán trên đưa về việc chứng minh các hệ thức AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD Sơ đồ chứng minh: + Dµ = I = 900 + Cµ = I = 900 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. + P· BI chung + P· AI chung   ADB ∽PIB ACB AIP (gg) ∽   AB DB AB AC = = PB IB AP AI   AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP  AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP  AB2 = BP . PD + AC . AP Học sinh tự trình bày lại theo sơ đồ đi lên Bài 3: Cho ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng. a) AM . BI = AI. IM A b) BN . IA = BI . NI M 2 AM AI c) = BN BI I Hướng Dẫn : a) Để chứng minh hệ thức AM. BI = AI. B N C AM IM IM ta cần chứng minh: AI BI b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh: ( AMI ∽ AIB) Sơ đồ: µ   µA1 = A2 (gt)I 1 = Bµ 1 * CM: I 1 = Bµ 1 Cµ MIC vuông: I·MC = 900 - 2 AMI ∽ AIB (gg) ABC: + + = 180 µA Bµ Cµ 0(t/c tổng ) µA Bµ Cµ  + + = 900 2 2 2 AM IM µA Bµ = Do đó: I·MC = + (1) AI BI 2 2 · µ µ  Mặt khác: IMC = A1 + I1 (t/c góc ngoài ) µA AM. BI = AI . IM hay I·MC = + Iµ (2) 2 1 Bµ Từ (1) và (2) = Iµ hay Bµ = Iµ 2 1 1 1 µ ¶ µ µ AMI ∽ AIB (A1 = A2 ; I1 = B1 ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. AM IM = AM . BI = AI. IM AI BI b) Tương tự ý a. Chứng minh BNI P BIA (gg) BN NI = BN . IA = BI. IN BI IA c) (Câu a) (Câu b)   2 AI AI 2 Nhận xét = 2 AMI P AIB BNI P BIA IA BI   AI 2 AM IM BI BN Tính AI2 ; BI2 = = BI 2 AI BI AB BI   (Tính AI2 ; BI2 nhờ P) AI2 = AM . AB BI2 = BN . AB AI 2 AM = BI 2 BN  2 AI AM = BI BN Học sinh tự trình bày lại theo sơ đồ đi lên Bài 4: Cho ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường cao của AEF. Chứng minh MN // BC Hướng Dẫn: Sơ đồ phân tích AMF P AFC (g.g); AFN P ABE A   M N AM AE AF AN = = F E AF AC AB AE  AM AF AE AE . = . B C AF AB AC AC  AM AN = AB AC  MN // BC (định lý Ta – lét đảo) Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. a) AB2 BH.BC; b) AH2 BH.HC. Hướng Dẫn: a) Chứng minh được AHB : CAB(g.g) AB2 BH.BC b) Chứng minh được ABC : AQE(g.g) AB.AE AQ.AC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, Q là điểm trên AC. Gọi D là hình chiếu của Q trên BC và E là giao điểm của AB và QD. Chứng minh: a) QA.QC QD.QE; b) AB.AE AQ.AC. Hướng Dẫn: Bài 7: Cho tam giác ABC AB AC , đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh: BM AB a) ; b) AM.DN AN.DM. CN AC Hướng Dẫn: AB BM a) Chứng minh ABM : ACN(g.g) suy ra (1) AC CN BM DM b) Chứng minh BDM : CDN(g.g) , suy ra (2) CN DN AM DM Từ (1) và (2) ĐPCM. AN DN Bài 8: Cho tam giác ABC AB AC , đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho A· CI B· DA. Chứng minh: a) ABD ∽ AIC; b) ABD ∽ CID; c) AD2 AB.AC DB.DC. Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh. b) HS tự chứng minh. c) Từ a, suy ra AB.AC = AD.AI (1) Từ b, suy ra BD.CD = AD.ID (2) Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD2 = AB.AC- DB.DC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. III. Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC =9cm.Điểm D thuộc cạnh AC sao cho A Bˆ D Cˆ . Tính độ dài AD Hướng Dẫn: A D 9 6 B C Xét ABDvà ACB Aˆ chung A Bˆ D Cˆ . => ABD ACB AD AB AD 6 AD 4cm AB AC 6 9 Bài 2 :Cho tam giác ABC có AC ≥ AB, đường phân giác AD. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho C Dˆ E B Aˆ C . a)Tìm tam giác đồng dạng với tam giác ABC. b)Chứng minh rằng : ED = DB Hướng Dẫn: A E B C D Xét DEC và ABC C Eˆ D C Aˆ B Cˆ chung  DEC ABC DC DC DE DB  vậy DE=DB AB AC AB AB Bài 3 :Cho tam giác ABC và các đường cao BD, CE a)Chứng minh rằng : ABD ACE. b)Tính AEˆD biết A Cˆ B 50 0 Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. A D E B C a) Xét ABD và ACE C Eˆ B C Dˆ B Aˆ chung : ABD ACE. b) AEˆD = 400 Bài 4: Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O , BAO = BDC.Chứng minh; a) ABO đồng dạng với DCO b) BCO đồng dạng với ADO Hướng Dẫn: C B O A D a/ Xét ABO và DCO có: BÂC = BDC (GT) AÔB = DÔC (đối đỉnh) Nên ABO DCO (g.g) B = C (góc t/ứng). b/ Ta có: C = 900 – C (GT) 0 0 B = 90 – D (Â = 90 ) C = D. Mà B = C (ch/m trên) Xét BCO và ADO có: C = D(Ch/m trên) BÔC = AÔD (đối đỉnh). Nên BCO ADO (g.g). Bai 5: Cho tam giác ABC có Aµ 2B . Đặt AB c,AC b, và BC a. Chứng minh a2 b2 bc. Hướng Dẫn: Gợi ý: Kẻ AD là đường phân giác của góc A. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
13. CD AC CD AC AC.BC Theo tính chất đường phân giác, CD (1) DB AB DB CD AB AC AB AC Chứng minh ABC : DAC (g.g) AC 2 BC.DC(2) AC.BC Thay (1) vào (2) được AC ĐPCM2 BC. AB AC Bai 6: Cho tam giác ABC và d là đường thẳng tùy ý qua B. Qua E là điểm bất kì trên AC, vẽ đường thẳng song song với AB và BC, lần lượt cắt d tại M và N. Gọi D là giao điểm của ME và BC. Đường thẳng NE cắt AB và MC lần lượt tại F và K. Chứng minh: a) AFN ∽ MDC; b) AN PMK. Hướng Dẫn: a) Chứng minh BFED là hình bình hành BF ED, EF BD BF.BD EF.ED (1) Chứng minh BFN : MDB(g.g) NF.DM BD.BF (2) Chứng minh AEF : ECD(g.g) AF.CD EF.ED (3) NF CD Từ (1), (2) và (3) AF DM Từ đó chứng minh được AFN : MDC (c.g.c) b) Ta chỉ ra được F· NA E· KC , từ đó suy ra AN//MK Bai 7: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. Chứng minh: a) AEF ∽ ABC ; b) H là giao điểm các đường phân giác của DEF ; c) BH.BE CH.CF BC2. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
14. AE AB a) Chứng minh được AF AC Từ đó chứng minh được AEF : ABC (c.g.c) b) Tương tự câu a, ta có CED : CBA(g.g) C· ED C· BA Từ a, suy ra ·AEF C· BA nên C· ED ·AEF . Từ đó chứng minh được F· EH D· EH , suy ra EH là phân giác của F· ED Chứng minh tương tự ta chỉ ra được H là giao điểm các đường phân giác của DEF c) Chứng minh được BD.BC = BH.BE (1) Chứng minh được CD.BC = CH.CF (2) Từ (1) và (2), ta có BH.BE + CH.CF = BC2 Bài 8: Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Chứng minh rằng AD2 AB.AC BD.DC Hướng Dẫn:   Trên tia AD lấy điểm E sao cho AEB ACB   Xét ABE và ADC có A1 A2 (vì AD là phân giác)   AEB ACB do đó ABE ADC Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
15. AB AE AD AC 2 AB.AC AE.AD AB.AC AD AD.DE (1) AB.AC (AD DE)AD Xét BDE và ADC có   AEB ACB   D1 D2 (đối đỉnh) suy ra BDE ADC BD DE AD.AC BD.DC (2) AD DC 2 Từ (1) và (2) suy ra: AD AB.AC BD.DC Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh AC. Các đường trung trực của cạnh BC và AC cắt nhau tại điểm O. H là trực tâm và G là trọng tâm. a) Hai tam giác ABH và MNO đồng dạng? b) Hai tam giác AHG và MOG đồng dạng? c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng. Hướng Dẫn: a) Ta có AH//OM; AB//MN; BH//ON nên     BAH OMN;BAH ONM Do đó OMN HAB b) Xét hai tam giác OMG và HAG ta có Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
16.   OM MG 1 HAG OMG; AH AG 2 Nên OMG HAG   c) Từ câu b) suy ra MGO AGH .     Ta có MGO MGH AGH MGH 1800 suy ra H, G, O thẳng hàng Bài 10: Cho tam giác, đường phân giác AI. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C lên AI. AD ID Chứng minh: AE IE Hướng Dẫn: Ta có AI là phân giác góc A. BI AB Nên theo tính chất đường phân giác ta có (1) IC AC ID BI Ta lại có BD//EC (vì cùng vuông góc với AI) (2) IE IC ID BA Từ (1) và (2) suy ra (3) IE AC Mặt khác, xét ADB và AEC có   A1 A2 (AI là phân giác góc A)   D E 900 Suy ra ADB AEC (g-g) BD AB AD (4) EC AC AE AD ID Từ (3) và (4) suy ra AE IE Bài 11: Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) các trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau. Hướng Dẫn: B Từ giả thiết cho song song ta suy ra Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 L K O M N E A P C
17. các tỷ lệ thức và tam giác đồng dạng Ta có : FM FQ = (1) FE FP FQ FP AF = (cùng ) LO CL AL FQ LO 1 LO 1 = (2) ( ta có trung tuyến ) FP CL 3 CL 3 FM 1 1 Từ (1) và (2) suy ra : = FM = FE FE 3 3 1 1 Tương tự ta cũng có EN = EF và do đó suy ra MN = EF 3 3 Vậy FM = MN = NE Bài 12:Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. CMR: MN = PQ Hướng Dẫn : Từ hệ quả của định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh được: MN DM E = AB DA PQ CQ = AB CB DM CQ A B = (kéo dài AD cắt BC tại E DA CB O rồi chứng minh ) MN CQ M N P Q = MN = PQ DA CB D C Bài 13: Trên một cạnh của góc xoy (x¶oy 1800), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm. a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng. b) Gọi giao điểm các cạnh AB và BC là I, CMR: Hai tam giác IAB và IBC có các góc bằng nhau từng đôi một. x B A 5 O 8 I 10 C D y OC OB a) = và Góc O chung OA OD OBC ODA Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
18. b) IAB và ICD ta dễ nhìn thấy không bằng nhau. Do đó để chứng minh chúng có các góc bằng nhau từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạng. Vì OBC P ODA nên O· BC = O· DA (1) Mặt khác ta có ·AIB C· ID (đối đỉnh) BAI P DCI (g.g) B· AI D· CI Bài 14 : Cho tam giác ABC , trực tâm H. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của BC, AC . Các đường trung trực của BC và của AC cắt nhau ởO . a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác AHB b) Chứng minh rằng AH 2OM c) Gọi C là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng các tam giác HAC và OMC đồng dạng d) Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng và GH 2GO Hướng Dẫn : A N H O C B D M a) Xét MON và AHB : Hình 18 O· MN H· AB (góc có cạnh tương ứng song song:OM / / HA, MN / / AB ); O· NM H· BA (góc có cạnh tương ứng song song:ON / / HB, NM / / BA) Vậy MON và AHB đồng dạng (g.g) b) MON và AHB đồng dạng OM MN 1 suy ra: (vì MN là đường trung bình của ABC ). Do đó AH 2OM AH AB 2 AH AG AH AG c)Ta có 2, mà 2 (tính chất G là trọng tâm của ABC ) nên OM GM OM GM Ta lại có H· AG O· MG (so le trong, AH / /OM ) Do đó HAG và OMG đồng dạng (c.g.c) · · d) HAG và OMG đồng dạng AGH OGM (1) Ta lại có ·AGH H· GM 180o (2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
19. Từ (1) và (2) suy ra O· GM H· GM 180o . Do đó H,G,O thẳng hàng, GH AH 2 GH 2GO GO OM Bài 15 : Tam giác ABC có AC 12cm , BC 16cm . Điểm D thuộc cạnh BC sao cho ·ADC B· AC . Tính độ dài DC. Hướng Dẫn : A B C D Hình 96 ABC và DAC đồng dạng (g.g) AC DC 12 DC DC 9 cm BC AC 16 12 Bài 16 : Hình thang ABCD có AB / /CD , µA C· BD . Biết AB a,CD b . Chứng minh rằng BD2 ab . Hướng Dẫn : A B D C Hình 97 ABD và BDC đồng dạng (g.g) AB BD a BD BD2 a.b BD CD BD b Bài 17 : Trên cùng một tia gốc A ,ta đặt AB a, AC b, a b .Trên tia BA , ta đặt BD b . Các đường tròn C; b và D; b cắt nhau ở E. Chứng minh rằng AE 2 ab . Hướng Dẫn : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
20. E C A B b Hình 98 Do CE DB nên CED cân; ADE BCE c.g.c nên AE BE . Các tam giác cân AE AB AEB,ACE có góc đáy A là góc chung nên đồng dạng (g.g) suy ra do đó AC AE AE 2 AB.AC ab Chú ý: bài toán này cho ta một cách dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng a và b Bài 18 : Cho điểm B thuộc tia Am . Đường tròn B; BA cắt Am ở C . Các đường tròn A; AB và C; CA cắt nhau ở D . Đường tròn D; DA cắt AB ở M . Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. Hướng Dẫn : D 2R R R m A M B C Hình 99 Đặt AB R thì DM R , CA CD 2R . Các tam giác cân DAM ,CAD có DAM CAD nên AM DM R 1 đồng dạng (g.g) AD CD 2R 2 Vậy M là trung điểm của AB. Chú ý: Bài toán này cho ta bài toán dựng hình: Cho điểm B thuộc tia Am. Chỉ dùng compa, dựng trung điểm của AB. Bài 19 : Tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE sao cho ABD ACE . a) Chứng minh rằng tam ABC cân. b)* Chứng minh rằng nếu cho thêm điều kiện ·ACE 300 thì tam giác ABC đều Hướng Dẫn : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
21. A D E B C Hình 100 AB AD AC 1 1 a) ABD và ACE đồng dạng g.g (vìAD AC,AE AB ) AC AE AB 2 2 A B 2 A C 2 A B A C 1 b)chú ý rằng AEC có AE AC và ·ACE 30o nên chứng minh được ·AEC 90o (kẻ 2 AE'  CE rồi chứng tỏ rằng E’ trùngE ). Do đó µA 60o . Vậy ABC đều Bài 20 : a) Cho tam giác ABC có Bµ 2Cµ . Chứng minh rằng AC 2 AB.(AB BC) . b) Cho tam giác ABC có AC 2 AB.(AB BC) . Chứng minh rằng Bµ 2Cµ c) Cho tam giác ABC có Bµ 2Cµ , AB 8cm , AC 12cm . Tính độ dài BC . Hướng Dẫn : a)Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Cách vẽ này vừa làm xuất hiện AD = AB + BC, vừa làm xuất hiện ·ACD 2·ACB (Vì BDC ·ABC cân nên B· CD Dµ ) do đó ·ACD ·ABC 2 AC AD Ta có ACD và ABC đồng dạng (g.g) nên AC 2 AB.AD = AB AB BC AB AC AC AD b) Cũng vẽ điểm D như câu a. Ta có AC 2 AB AB BC AB.AD nên . AB AC Do đó ACD và ABC đồng dạng (c.g.c). Dµ ·ACB . (1) Ta lại có ·ABC Dµ B· CD 2Dµ (2) Từ (1) và (2) suy ra ·ABC 2·ACB . c) Áp dụng câu a. Đáp số: BC 10cm Bài 21 : Điểm M là trung điểm cạnh đáy BC của tam giác cân ABC . Các điểm D và E thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho C· ME B· DM . Chứng minh rằng : a) BC.CE BM 2 b) Các tam giác MDE và BDM đồng dạng. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
22. c) DM là tia phân giác của góc BDE . Hướng Dẫn : BD BM a) BDM và CME đồng dạng (g.g) CM CE Ta có BM = CM nên BD.CE BM 2 DM BD DM BD b) Từ BDM và CME đồng dạng suy ra (Vì CM BM ) ME CM ME BM · · ¶ µ ¶ ¶ µ Ta lại có DME DMC M1 B D1 M1 B . Do đó MDE và BDM đồng dạng (c.g.c). c) Từ câu b suy ra M· DE B· DM do đó DM là tia phân giác của góc BDE. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22