Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Ôn tập Chương III

Nội dung text: Tài liệu dạy thêm Hình học Lớp 8 - Ôn tập Chương III

1. ÔN TẬP HÌNH CHƯƠNG 3 I.Lí Thuyết Dạng 1: Các trường hợp đồng dạng của tam giác Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc. Đối với hai tam giác vuông, ngoài các trường hợp nói trên còn có trường hợp đồng dạng về cạnh huyền và cạnh góc vuông. II. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AD , K là trung điểm của AD . Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK . Chứng minh rằng A· IB 90 . Hướng Dẫn: · · µ µ µ KID và DIC có KID DIC 90, K1 D1 (cùng phụ C1 ) nên KID : DIC (g.g) KI KD . DI DC KI KA Ta lại có: KD KA, DC DB nên DI DB Kết hợp với I·KA I·DB suy ra IKA : IDB (c.g.c) A· IK B· ID . Cùng cộng với K· IB được: A· IB K· ID 90. 1 Bài 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM AM BC . Lấy điểm I trên đoạn AM sao 2 cho M· BI M· AB. Chứng minh rằng M· CI M· AC . Hướng Dẫn: µ µ µ MBI và MAB có M1 là góc chung, B1 A1 nên MBI : MAB (g.g) MB MI MC MI . MA MB MA MC µ Kết hợp với M2 là góc chung suy ra MCI : MAC (c.g.c) M· CI M· AC . Bài 3: Cho tam giác ABC , các đường phân giác AD, BE, CF . Gọi M là giao điểm của BE và DF, N là giao điểm của DE và CF . a) Kẻ MI và NK song song với AD I AB, K AC . Chứng minh rằng AIM : AKN . Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. b) Chứng minh F· AM E· AN . Hướng Dẫn: a) Ta có: B· IM B· AD C· AD C· KN nên góc bù với chúng là A· IM A· KN . AI AK Sẽ chứng minh . IM KN Đặt BC a, AC b, AB c . Do IM / /AD và Bµ 1 Bµ 2 nên AI MD BD (1) IF MF BF IF AF (2) IM AD AI BD AF BD AF BD b Nhân (1) với (2) được . . . (3) IM BF AD AD BF AD a AK CD c Tương tự . (4) KN AD a AI AK BD b AD a BD b Từ (3) và (4) suy ra : . . . . 1. IM KN AD a CD c CD c AI AK Vậy . Do đó AIM : AKN (c.g.c). IM KN b) Suy ra từ câu a). AI Lưu ý: Trong ví dụ trên, khi xét tỉ số , ta đã viết tỉ số đó dưới dạng tích của hai tỉ số trung IM AI IF gian . , có nhiều tỉ số bằng các tỉ số trung gian trên từ định lí Ta-lét và tính chất IF IM đường phân giác của tam giác. Cách viết một tỉ số dưới dạng tích của hai tỉ số trung gian, cùng với cách kẻ thêm đường thẳng song song là những cách thường dung để tạo ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. Bµ Bài 4: Cho tam giác ABC có AB 5cm, AC 6 cm, Aµ 90 . Tính độ dài BC . 2 Hướng Dẫn: Trên BC lấy điểm D sao cho BD 5 cm. Bµ Tam giác ABD cân tại B nên A· DC 90 B· AC . 2 Ta có DAC : ACB (g.g) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. CA DC DC.CB AC2 . CB AC Đặt DC x thì x x 5 36 x2 5x 36 0 x 9 x 4 0 . Do x 0 nên x 4. Do đó, BC 5 4 9 (cm) CA DC DC.CB AC2 CB AC Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA 7 cm, HB 5 cm, HC 17 cm. Tính a)Đường cao AD ; b) Diện tích ABC. Hướng Dẫn: a) DBH và DAC vuông tại D có D· BH D· AC (cùng phụ A· CB ) nên DBH : DAC (g.g) DB DH . DA DC 5 x2 x Đặt DH x thì . x 7 17 x2 Rút gọn được 14x3 71x2 85 0 x 1 14x2 85x 85 0 . Do x 0 nên x 1 0 x 1. Suy ra AD 8cm. 2 b) BD 5 1 4 BD 2 (cm). DC2 17 1 16 DC 4 (cm). 1 1 S BC.AD . 2 4 .8 24 (cm2). ABC 2 2 Bài 6: Cho tam giác ABC AB AC , đường trung tuyến AM . Điểm D trên cạnh BC sao cho 2 · · DB AB BAD CAM . Chứng minh rằng . DC AC Hướng Dẫn: DB DB MB Do MB MC nên . (1) DC MC DC Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau (Ví dụ 14) ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. DB S AB.AD ADB (2) MC SAMC AM.AC MB S AB.AM AMB (3) DC SADC AD.AC 2 DB AB.AD AB.AM AB Từ (1), (2) và (3) suy ra: . . DC AM.AC AD.AC AC Lưu ý: Do Aµ 1 Aµ 2 nên đường thẳng AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác của góc A . Ta gọi AD là đườngđối trung đi qua A . Dạng 2: Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. AB AH S Nếu ABC : A B C có k , AH và A H là đường cao thì k, ABC k2 . A B A H SA B C Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC . EM a) Chứng minh rằng tỉ số các khoảng cách từ H đến EM và DN bằng . DN b) Gọi O là giao điểm của DM và EN . Chứng minh rằng HO vuông góc với BC . Hướng Dẫn: a) Kẻ HI  EM, HK  DN . KHD và NDC có Kµ Nµ 90, K· HD N· DC (cùng phụ H· DK ) nên HK HD KHD : NDC (g.g) (1) DN DC HI HE Tương tự: (2) EM EB Ta lại có HBE : HCD (g.g) HE HD (3) EB DC HI HK HI EM Từ (1), (2) và (3) suy ra (4) EM DN HK DN b) Kẻ OP  EM, OQ  DN . OEM : OND (g.g) có OP và OQ là hai đường cao tương ứng nên Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. OP EM (5) OQ DN HI OP Từ (4) và (5) suy ra , chứng tỏ HO / /EM , mà EM  BC nên HO  BC. HK OQ Bài 2: Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi D là một điểm trên cạnh BC . Qua D kẻ đường thẳng song song với CF , cắt BE và BA theo thứ tự ở I và M . Qua D kẻ đường thẳng song song với BE, cắt CF và CA theo thứ tự ở K và N . Tìm vị trí của điểm D để: a) Tứ giác GIDK có diện tích lớn nhất; b) Tam giác DMN có diện tích lớn nhất. Hướng Dẫn: a) Đặt SGBC S, SGIDK S , BD x, DC y . Các tam giác IBD, GBC, KDC đồng dạng nên 2 2 2 2 S S SIBD SKDC x y x y 1 1 2 . S S BC BC x y x2 y2 S lớn nhất nhỏ nhất. x y 2 2 2 2 2 2 x y 1 Do 2 x y x y nên 2 . x y 2 S lớn nhất x y D là trung điểm của BC . DM CF 3 DN 3 b) Ta có DM / /CF nên , tương tự DI CG 2 DK 2 SDMN DM DN 3 3 9 9 9 Suy ra . . SDMN SDIK S . SDIK DI DK 2 2 4 4 8 SDMN lớn nhất S lớn nhất x y (theo câu a) D là trung điểm của BC . III.Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC có AC 12 cm, BC 7 cm, Bµ 2Cµ . Tính AB . Hướng Dẫn: Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD = BC. AB AC Ta có ∆ABC : ∆ACD (g.g) . AC AD Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. ÔN TẬP HÌNH CHƯƠNG 3 I.Lí Thuyết Dạng 1: Các trường hợp đồng dạng của tam giác Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc. Đối với hai tam giác vuông, ngoài các trường hợp nói trên còn có trường hợp đồng dạng về cạnh huyền và cạnh góc vuông. II. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AD , K là trung điểm của AD . Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK . Chứng minh rằng A· IB 90 . Hướng Dẫn: · · µ µ µ KID và DIC có KID DIC 90, K1 D1 (cùng phụ C1 ) nên KID : DIC (g.g) KI KD . DI DC KI KA Ta lại có: KD KA, DC DB nên DI DB Kết hợp với I·KA I·DB suy ra IKA : IDB (c.g.c) A· IK B· ID . Cùng cộng với K· IB được: A· IB K· ID 90. 1 Bài 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM AM BC . Lấy điểm I trên đoạn AM sao 2 cho M· BI M· AB. Chứng minh rằng M· CI M· AC . Hướng Dẫn: µ µ µ MBI và MAB có M1 là góc chung, B1 A1 nên MBI : MAB (g.g) MB MI MC MI . MA MB MA MC µ Kết hợp với M2 là góc chung suy ra MCI : MAC (c.g.c) M· CI M· AC . Bài 3: Cho tam giác ABC , các đường phân giác AD, BE, CF . Gọi M là giao điểm của BE và DF, N là giao điểm của DE và CF . a) Kẻ MI và NK song song với AD I AB, K AC . Chứng minh rằng AIM : AKN . Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1